Partie 2

Les méthodes de raisonnement

Une démonstration établit rigoureusement qu'une proposition est vraie, à partir des hypothèses et des résultats déjà connus. Selon la forme de l'énoncé — implication, équivalence, universelle, existentielle — une méthode de raisonnement s'impose plus naturellement que les autres.

Raisonnement direct

Principe

Pour démontrer une implication \(P\Longrightarrow Q\) par un raisonnement direct, on suppose que \(P\) est vraie et, à l'aide des hypothèses et des résultats connus, on établit que \(Q\) est vraie.

\(P \text{ vraie} \quad\Longrightarrow\quad \cdots \quad\Longrightarrow\quad Q \text{ vraie}\)

Exemples

1) Montrer que \(\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{2x-3}{4} \Longrightarrow x=\dfrac{13}{2}\).

2) Soient \(a,b>0\). Montrer que \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geq 2\).

3) Montrer que si \(a,a'\in\mathbb{Q}\), alors \(a+a'\in\mathbb{Q}\).

Démonstration (2 et 3)

2) On a \((a-b)^2\geq0\), donc \(a^2-2ab+b^2\geq0\), d'où \(a^2+b^2\geq2ab\). Comme \(ab>0\), on peut diviser par \(ab\), ce qui donne \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geq2\).

3) Soient \(a,a'\in\mathbb{Q}\). Par définition de \(\mathbb{Q}\), il existe \(p,p'\in\mathbb{Z}\) et \(q,q'\in\mathbb{N}^*\) tels que \(a=\dfrac{p}{q}\) et \(a'=\dfrac{p'}{q'}\).

Alors \(a+a'=\dfrac{p}{q}+\dfrac{p'}{q'}=\dfrac{pq'+p'q}{qq'}\).

Or \(pq'+p'q\in\mathbb{Z}\) et \(qq'\in\mathbb{N}^*\). Ainsi \(a+a'\) s'écrit sous la forme \(a+a'=\dfrac{p''}{q''}\), avec \(p''\in\mathbb{Z}\) et \(q''\in\mathbb{N}^*\).

Par conséquent, \(a+a'\in\mathbb{Q}\). \(\blacksquare\)

Exercice

Énoncé

Soient \(a,b,c>0\). Montrer que \((a+b+c)\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)\geq9\). Déterminer le cas d'égalité.

Raisonnement par contraposée

Principe

Pour démontrer une implication \(P\Longrightarrow Q\), on peut démontrer sa contraposée \(\neg Q\Longrightarrow \neg P\) — les deux sont toujours équivalentes (voir Partie 1, §3.2).

Exemples

1) Soit \(n\in\mathbb{Z}\). Montrer que \(n^2\text{ est pair} \Longrightarrow n\text{ est pair}\).

2) Montrer que, pour tous \(x,y\in\mathbb{R}\), \(x+y\neq 0 \Longrightarrow x^2+y^2\neq -2xy\).

Démonstration (1)

Démontrons la contraposée : \(n \text{ impair} \Longrightarrow n^2 \text{ impair}\).

Supposons donc \(n\) impair. Il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(n=2k+1\). Alors :

\[ n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1 \]

Ainsi \(n^2\) est impair. Par conséquent, \(n^2 \text{ pair}\Longrightarrow n \text{ pair}\). \(\blacksquare\)

Raisonnement par double implication

Principe

Le raisonnement par double implication (ou par équivalence) permet de démontrer une proposition de la forme \(P\Longleftrightarrow Q\). Deux méthodes possibles.

① Double implication : on démontre séparément \(P\Rightarrow Q\), puis \(Q\Rightarrow P\).

② Équivalences successives : \(P \Longleftrightarrow P_1 \Longleftrightarrow P_2 \Longleftrightarrow \cdots \Longleftrightarrow Q\).

Attention

La méthode ② demande une attention particulière : chaque étape doit être une véritable équivalence, et non une simple implication (voir le piège du \(\iff\), chapitre Rédaction §6.5).

Exemples

1) Soit \(x>0\). Montrer que \(x+\dfrac1x=2 \Longleftrightarrow x=1\).

2) Soit \(n\in\mathbb{Z}\). Montrer que \(n \text{ est pair} \Longleftrightarrow n^2 \text{ est pair}\).

Démonstration (2)

Supposons d'abord \(n\) pair. Il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(n=2k\). Alors \(n^2=4k^2=2(2k^2)\), donc \(n^2\) est pair.

Réciproquement, on a montré par contraposée (§2) que \(n^2 \text{ pair}\Longrightarrow n \text{ pair}\).

Ainsi \(n \text{ pair} \Longleftrightarrow n^2 \text{ pair}\). \(\blacksquare\)

Raisonnement par disjonction de cas

Principe

On distingue plusieurs cas qui couvrent toutes les possibilités, puis on démontre le résultat dans chacun. Si \(P\) est une proposition, on peut distinguer les deux cas \(P\) et \(\neg P\) : si la même conclusion \(Q\) est obtenue dans les deux cas, alors \(Q\) est vraie.

Énoncé

Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(\dfrac{n(n+1)}{2}\in\mathbb{N}\).

Solution

Premier cas : \(n\) est pair. Il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(n=2k\). Alors \(\dfrac{n(n+1)}2=k(n+1)\in\mathbb{N}\).

Deuxième cas : \(n\) est impair. Alors \(n+1\) est pair : il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(n+1=2k\). Ainsi \(\dfrac{n(n+1)}2=nk\in\mathbb{N}\).

Dans tous les cas, \(\dfrac{n(n+1)}2\in\mathbb{N}\). \(\blacksquare\)

Raisonnement par l'absurde

Principe

Pour démontrer qu'une proposition \(P\) est vraie, on suppose que sa négation \(\neg P\) est vraie, puis on montre que cette hypothèse conduit à une contradiction.

Énoncé

Soient \(a,b\geq 0\). Montrer que \(\dfrac{a}{1+b}=\dfrac{b}{1+a} \Longrightarrow a=b\).

Solution

Nous raisonnons par l'absurde en supposant \(\dfrac{a}{1+b}=\dfrac{b}{1+a}\) et \(a\neq b\).

De l'égalité, on tire \(a(1+a)=b(1+b)\), donc \(a+a^2=b+b^2\), d'où \(a^2-b^2=b-a\), soit \((a-b)(a+b)=-(a-b)\).

Comme \(a\neq b\), on a \(a-b\neq 0\) : en divisant, \(a+b=-1\).

Or \(a\geq0\) et \(b\geq0\), donc \(a+b\geq0\) : contradiction.

Conclusion : \(\dfrac{a}{1+b}=\dfrac{b}{1+a} \Longrightarrow a=b\). \(\blacksquare\)

Raisonnement par contre-exemple

Principe

Pour démontrer qu'une propriété de la forme \(\forall x\in E,\ P(x)\) est fausse, il suffit de montrer que \(\exists x\in E,\ \neg P(x)\) est vraie, c'est-à-dire de trouver au moins un élément \(x\in E\) qui ne vérifie pas \(P(x)\).

Un tel élément \(x\) est appelé un contre-exemple.

Exemple

Énoncé

Montrer que l'assertion suivante est fausse : « Tout entier positif est somme de trois carrés. »

Solution

Un contre-exemple est \(7\). En effet, les carrés inférieurs ou égaux à \(7\) sont \(0,\ 1,\ 4\).

Or, avec trois nombres choisis parmi \(0\), \(1\) et \(4\), on ne peut pas obtenir \(7\) : \(4+1+1=6\), \(4+4+0=8\), \(1+1+1=3\)… aucune combinaison ne donne \(7\).

Conclusion : \(7\) n'est pas somme de trois carrés. L'assertion « Tout entier positif est somme de trois carrés » est donc fausse.

Raisonnement par récurrence

Principe

Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu'une proposition \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n\geq n_0\). Il comporte deux étapes :

1. Initialisation : on vérifie que \(P(n_0)\) est vraie.

2. Hérédité : on suppose \(P(n)\) vraie pour un entier \(n\geq n_0\) (hypothèse de récurrence), et on démontre \(P(n+1)\).

Si l'initialisation et l'hérédité sont vérifiées, alors, par le principe de récurrence, \(\forall n\geq n_0,\ P(n)\text{ est vraie}\).

Exemple

Énoncé

Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(2^n>n\).

Solution

Pour \(n\geq 0\), notons \(P(n)\) : « \(2^n>n\) ».

Initialisation. Pour \(n=0\) : \(2^0=1>0\). \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Fixons \(n\geq 0\), supposons \(P(n)\) : \(2^n>n\). Montrons \(P(n+1)\).

\[ 2^{n+1}=2^n+2^n>n+2^n\ \ (\text{car }2^n>n)\ \geq n+1\ \ (\text{car }2^n\geq 1) \]

Donc \(2^{n+1}>n+1\) : \(P(n+1)\) est vraie.

Conclusion. Par récurrence, \(\forall n\in\mathbb{N},\ 2^n>n\). \(\blacksquare\)

Exercices de synthèse

Un exercice par méthode — à toi de reconnaître laquelle utiliser avant d'ouvrir la correction.

Exercice 1 · raisonnement direct

Énoncé

Soient \(a,b\in\mathbb{R}_+\). Montrer que si \(a\leq b\), alors \(a\leq \dfrac{a+b}{2}\leq b\) et \(a\leq \sqrt{ab}\leq b\).

Résumé — quelle méthode pour quelle forme d'énoncé ?

Implication \(P\Rightarrow Q\) : raisonnement direct (le plus naturel), ou contraposée si \(\neg Q\) se manipule mieux que \(Q\).
Équivalence \(P\Leftrightarrow Q\) : double implication, ou chaîne d'équivalences si chaque étape est réversible.
Énoncé qui se scinde naturellement (parité, signe…) : disjonction de cas — en couvrant bien toutes les possibilités.
Négation, non-existence, irrationalité : raisonnement par l'absurde.
Réfuter un \(\forall\) : un seul contre-exemple suffit.
Propriété indexée par \(n\in\mathbb{N}\) : récurrence — initialisation puis hérédité, jamais l'inverse.

« Choisir la bonne méthode, c'est déjà avoir fait la moitié de la preuve. »