Maths Sup

Suites numériques

De la définition d'une suite à la limite supérieure : monotonie, convergence \(\varepsilon\)-\(N\), théorème de la limite monotone, suites adjacentes, suites extraites, comparaison asymptotique et suites complexes — le socle sur lequel repose toute l'analyse de sup.

Généralités sur les suites numériques

Définition — suite réelle

Une suite réelle est une application \(u:\mathbb{N}\to\mathbb{R}\). Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), l'image \(u(n)\) est le terme de rang \(n\), généralement noté \(u_n\). La suite se note

\[ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} \qquad\text{ou plus simplement}\qquad (u_n). \]

Remarque

Il ne faut pas confondre \(u_n\), qui est un réel, avec \((u_n)\), qui désigne la suite entière.

Deux façons de définir une suite

Forme explicite

\(u_n\) est donné directement en fonction de \(n\) : par exemple \(u_n=2n^2-3n+1\).

Définition par récurrence

On donne un ou plusieurs termes initiaux, puis une relation permettant de construire les termes suivants : par exemple \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\), ou la suite de Fibonacci \(F_0=0,\ F_1=1,\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\).

Suites constantes, stationnaires, périodiques

\((u_n)\) est constante s'il existe \(c\in\mathbb{R}\) tel que \(u_n=c\) pour tout \(n\) ;
\((u_n)\) est stationnaire s'il existe \(N\in\mathbb{N}\) et \(c\in\mathbb{R}\) tels que \(\forall n\geq N,\ u_n=c\) (constante à partir d'un certain rang) ;
pour \(p\in\mathbb{N}^*\), \((u_n)\) est \(p\)-périodique si \(\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+p}=u_n\).

Exemples : \(u_n=(-1)^n\) est \(2\)-périodique ; \(u_n=\cos\!\left(\dfrac{2n\pi}{3}\right)\) est \(3\)-périodique.

Remarque

Toute suite constante est périodique. En revanche, une suite périodique non constante n'est pas convergente.

Opérations algébriques usuelles

Soient \((u_n)\), \((v_n)\) deux suites réelles et \(\lambda\in\mathbb{R}\). On définit

\[ (u+v)_n=u_n+v_n,\qquad (uv)_n=u_nv_n,\qquad (\lambda u)_n=\lambda u_n. \]

Si \(v_n\neq0\) à partir d'un certain rang,

\[ \left(\frac uv\right)_n=\frac{u_n}{v_n},\qquad\text{en particulier}\qquad \left(\frac1v\right)_n=\frac1{v_n}. \]

Suites majorées, minorées, bornées

majorée : \(\exists M\in\mathbb{R},\ \forall n\in\mathbb{N},\ u_n\leq M\) ;
minorée : \(\exists m\in\mathbb{R},\ \forall n\in\mathbb{N},\ m\leq u_n\) ;
bornée : à la fois majorée et minorée.

Propriété

\((u_n)\) est bornée si et seulement si

\[ \boxed{\exists M\geq0,\qquad \forall n\in\mathbb{N},\quad |u_n|\leq M.} \]

Exemples : \(u_n=\sin n\) est bornée (\(|u_n|\leq1\)) ; \(u_n=n^2\) est minorée mais non majorée.

Suites monotones

croissante : \(\forall n,\ u_{n+1}\geq u_n\) (strictement si \(>\)) ;
décroissante : \(\forall n,\ u_{n+1}\leq u_n\) (strictement si \(<\)) ;
monotone : croissante ou décroissante.

Méthode : étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\), ou (si \(u_n>0\)) comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\).

Exemple

Pour \(u_n=\dfrac n{n+1}\),

\[ u_{n+1}-u_n=\frac1{(n+1)(n+2)}>0, \]

donc \((u_n)\) est strictement croissante.

Convergence et limite d'une suite

Définition — convergence

\((u_n)\) converge vers \(\ell\in\mathbb{R}\) lorsque

\[ \boxed{ \forall\varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N},\quad \forall n\geq N, \qquad |u_n-\ell|<\varepsilon. } \]

On note \(u_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}\ell\) ou \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ell\). Une suite qui possède une limite finie est dite convergente, sinon divergente.

Visualiser la définition

Animation — le jeu \(\varepsilon\)/\(N\)

On observe \(\displaystyle u_n=1+\frac{(-1)^n}{n+1}\), qui converge vers \(\ell=1\). Fais diminuer \(\varepsilon\) : la bande \([\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon]\) se resserre, et le rang \(N\) à partir duquel tous les termes y restent recule d'autant.

\(\varepsilon=\) ε = 0.30 — N = 3

Exemples \[ \frac1n\xrightarrow[n\to+\infty]{}0, \qquad\text{et pour }|q|<1,\qquad q^n\xrightarrow[n\to+\infty]{}0. \]

Proposition — unicité de la limite

Une suite convergente possède une unique limite.

Démonstration

Si \(u_n\to\ell\) et \(u_n\to\ell'\) avec \(\ell\neq\ell'\), posons \(\varepsilon=\dfrac{|\ell-\ell'|}3\). À partir d'un certain rang, \(|u_n-\ell|<\varepsilon\) et \(|u_n-\ell'|<\varepsilon\), donc par l'inégalité triangulaire

\[ |\ell-\ell'|\leq|\ell-u_n|+|u_n-\ell'|<2\varepsilon=\frac23|\ell-\ell'|, \]

ce qui est impossible. Donc \(\ell=\ell'\). \(\blacksquare\)

Proposition

Toute suite convergente est bornée.

Démonstration

Pour \(\varepsilon=1\), il existe \(N\) tel que \(|u_n-\ell|<1\) pour \(n\geq N\), donc \(|u_n|\leq|\ell|+1\). Il suffit de prendre \(M=\max(|u_0|,\ldots,|u_{N-1}|,|\ell|+1)\).

La réciproque est fausse

\(u_n=(-1)^n\) est bornée mais divergente.

Limite et ordre usuel

Passage à la limite dans une inégalité

Si \(u_n\to\ell\), \(v_n\to\ell'\) et \(u_n\leq v_n\) à partir d'un certain rang, alors

\[ \boxed{\ell\leq\ell'.} \]

Attention

Une inégalité stricte peut devenir large à la limite : \(1-\frac1n<1+\frac1n\), mais les deux suites convergent vers \(1\).

Théorème des gendarmes

Si, à partir d'un certain rang, \(u_n\leq w_n\leq v_n\) et si \(u_n\to\ell,\ v_n\to\ell\), alors

\[ \boxed{w_n\longrightarrow\ell.} \]

Corollaire : si \(|u_n|\leq v_n\) à partir d'un certain rang et \(v_n\to0\), alors \(u_n\to0\).

Autres propriétés utiles

Si \(u_n\to\ell\), alors \(u_n-\ell\to0\), \(|u_n-\ell|\to0\) et \(|u_n|\to|\ell|\). Et si \(\ell>0\) (resp. \(\ell<0\)), alors \(u_n>0\) (resp. \(u_n<0\)) à partir d'un certain rang — conservation du signe.

Théorème de la limite monotone et opérations sur les limites

Théorème de convergence monotone

Toute suite croissante et majorée est convergente, et

\[ \boxed{u_n\longrightarrow\sup\{u_n\mid n\in\mathbb{N}\}.} \]

De même, toute suite décroissante et minorée converge vers \(\inf\{u_n\mid n\in\mathbb{N}\}\).

Démonstration (cas croissant majoré)

Posons \(\ell=\sup\{u_n\mid n\in\mathbb{N}\}\). Pour \(\varepsilon>0\), \(\ell-\varepsilon\) ne majore pas l'ensemble des termes, donc il existe \(N\) tel que \(u_N>\ell-\varepsilon\). Par croissance, pour tout \(n\geq N\),

\[ \ell-\varepsilondonc \(|u_n-\ell|<\varepsilon\) : \(u_n\to\ell\). \(\blacksquare\)

Corollaire et remarque

Une suite monotone converge si et seulement si elle est bornée. Si \((u_n)\) croît vers \(\ell\), alors \(u_n\leq\ell\) pour tout \(n\) (strictement si la croissance est stricte).

Opérations sur les limites

Si \(u_n\to\ell\) et \(v_n\to\ell'\), alors

\[ u_n+v_n\to\ell+\ell',\qquad u_nv_n\to\ell\ell',\qquad \lambda u_n\to\lambda\ell\ \ (\lambda\in\mathbb{R}). \]

Si \(\ell'\neq0\), alors \(v_n\neq0\) à partir d'un certain rang et \(\dfrac{u_n}{v_n}\to\dfrac{\ell}{\ell'}\).

Corollaire : si \(u_n\to0\) et \((v_n)\) est bornée, alors \(u_nv_n\to0\).

Limites infinies \[ u_n\to+\infty \iff \forall A\in\mathbb{R},\ \exists N,\ \forall n\geq N,\ u_n>A, \]

et symétriquement pour \(u_n\to-\infty\).

Formes indéterminées \[ +\infty-\infty,\qquad 0\times\infty,\qquad \frac00,\qquad \frac{\infty}{\infty}. \]

Suites adjacentes

Définition

\((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre décroissante, et \(v_n-u_n\to0\).

Théorème des suites adjacentes

Deux suites adjacentes sont convergentes et possèdent la même limite.

Démonstration

Supposons \((u_n)\) croissante, \((v_n)\) décroissante, \(v_n-u_n\to0\). La suite \(w_n=v_n-u_n\) est décroissante et tend vers \(0\), donc \(w_n\geq0\), soit \(u_n\leq v_n\). Par croissance de \((u_n)\), \(u_n\leq v_n\leq v_0\) : \((u_n)\) est majorée. De même \((v_n)\) est minorée par \(u_0\). Les deux convergent donc, vers \(\ell\) et \(\ell'\) ; comme \(v_n-u_n\to0\), \(\ell'-\ell=0\), d'où

\[ \boxed{\ell=\ell'.} \]

Réflexe

Les suites adjacentes servent à encadrer une limite inconnue par deux suites explicites (approximations par défaut / par excès), et à démontrer son existence sans la calculer.

Suites extraites et valeurs d'adhérence

Définition — suite extraite

Soit \(\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) strictement croissante. La suite \((u_{\varphi(n)})\) est une suite extraite (ou sous-suite) de \((u_n)\). Exemples : \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\).

Propriété

Toute extraction \(\varphi\) vérifie \(\forall n\in\mathbb{N},\ \varphi(n)\geq n\).

Théorème

Si \(u_n\to\ell\), alors toute suite extraite de \((u_n)\) converge aussi vers \(\ell\).

Corollaire : si deux suites extraites de \((u_n)\) convergent vers deux limites différentes, alors \((u_n)\) diverge.

Exemple

Pour \(u_n=(-1)^n\), \(u_{2n}=1\to1\) et \(u_{2n+1}=-1\to-1\) : deux limites distinctes, donc \((u_n)\) diverge.

Définition — valeur d'adhérence

\(\ell\) est une valeur d'adhérence de \((u_n)\) s'il existe une suite extraite de \((u_n)\) qui converge vers \(\ell\).

Théorème de Bolzano–Weierstrass

Toute suite réelle bornée possède au moins une valeur d'adhérence : on peut toujours en extraire une sous-suite convergente.

Caractérisations séquentielles

Caractérisation séquentielle du sup

Soit \(A\subset\mathbb{R}\) non vide majorée, \(M\in\mathbb{R}\). Alors \(M=\sup A\) si et seulement si \(M\) majore \(A\) et il existe une suite \((a_n)\) d'éléments de \(A\) telle que \(a_n\to M\).

Démonstration (sens direct)

Si \(M=\sup A\), pour tout \(n\), \(M-\dfrac1{n+1}\) ne majore pas \(A\) : il existe \(a_n\in A\) tel que \(M-\dfrac1{n+1}

Symétrique et densité

De même, \(m=\inf A\) ssi \(m\) minore \(A\) et \(\exists(a_n)\subset A,\ a_n\to m\). Enfin, \(A\) est dense dans \(\mathbb{R}\) ssi pour tout \(x\in\mathbb{R}\), il existe une suite \((a_n)\) d'éléments de \(A\) telle que \(a_n\to x\) — c'est ainsi qu'on démontre que \(\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\).

Suites classiques

Suites arithmétiques

\(\exists r\in\mathbb{R},\ \forall n,\ u_{n+1}=u_n+r\) (\(r\) = raison).

\[ \boxed{u_n=u_0+nr,}\qquad u_n=u_p+(n-p)r,\qquad \sum_{k=0}^n u_k=\frac{n+1}2(u_0+u_n). \]

Comportement : \(r>0\Rightarrow u_n\to+\infty\) ; \(r<0\Rightarrow u_n\to-\infty\) ; \(r=0\Rightarrow(u_n)\) constante.

Suites géométriques

\(\exists q\in\mathbb{R},\ \forall n,\ u_{n+1}=qu_n\) (\(q\) = raison).

\[ \boxed{u_n=u_0q^n,}\qquad q\neq1\ \Rightarrow\ \sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}. \]

Animation — comportement de \(q^n\)

Fais varier \(q\) : selon sa position par rapport à \(-1\), \(1\) et \(1\), la suite \((q^n)\) converge vers \(0\), reste constante, ou diverge.

\(q=\) q = 0.60

\[ |q|<1\Rightarrow q^n\to0,\qquad q=1\Rightarrow q^n=1,\qquad q>1\Rightarrow q^n\to+\infty. \]

Si \(q\leq-1\), la suite n'admet pas de limite (finie ou infinie).

Suites arithmético-géométriques

\(u_{n+1}=au_n+b\), avec \(a,b\in\mathbb{R}\) fixés, \(a\neq1\). Le point fixe \(\ell=a\ell+b\) donne

\[ \boxed{\ell=\frac b{1-a}.} \]

En posant \(v_n=u_n-\ell\), on obtient \(v_{n+1}=av_n\), donc \(v_n=v_0a^n\), soit

\[ \boxed{u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n.} \]

Si \(|a|<1\), alors \(u_n\to\ell=\dfrac b{1-a}\).

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

Pour \(u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n\), l'équation caractéristique est \(r^2-ar-b=0\).

Deux racines réelles distinctes \(r_1,r_2\) : \(u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n\) ;
racine double \(r\) : \(u_n=(\lambda+\mu n)r^n\) ;
racines complexes conjuguées \(\rho e^{\pm i\theta}\) : \(u_n=\rho^n(A\cos(n\theta)+B\sin(n\theta))\).

Dans les trois cas, \(\lambda,\mu\) (ou \(A,B\)) se déterminent avec les conditions initiales.

Comparaison asymptotique des suites

Domination, négligeabilité, équivalence \[ u_n=O(v_n) \iff \exists C>0,\ |u_n|\leq C|v_n|\ \text{à partir d'un certain rang}, \] \[ u_n=o(v_n) \iff \exists\,\varepsilon_n\to0,\ u_n=\varepsilon_nv_n \iff \frac{u_n}{v_n}\to0\ (\text{si } v_n\neq0), \] \[ u_n\sim v_n \iff \exists\,\varepsilon_n\to1,\ u_n=\varepsilon_nv_n \iff \frac{u_n}{v_n}\to1\ (\text{si } v_n\neq0). \]

Propriétés \[ u_n=o(v_n)\Rightarrow u_n=O(v_n),\qquad u_n\sim v_n\Rightarrow u_n=O(v_n), \] \[ u_n=o(v_n)\ \text{et}\ v_n=o(w_n)\Rightarrow u_n=o(w_n). \]

\(\sim\) est une relation d'équivalence.

Croissances comparées (\(\alpha,\beta>0\)) \[ (\ln n)^\alpha=o(n^\beta),\qquad n^\alpha=o(e^{\beta n}),\qquad a^n=o(n!)\ \forall a\in\mathbb{R},\qquad n!=o(n^n). \]

Équivalents usuels — si \(u_n\to0\) \[ \sin u_n\sim u_n,\quad \tan u_n\sim u_n,\quad e^{u_n}-1\sim u_n,\quad \ln(1+u_n)\sim u_n, \] \[ 1-\cos u_n\sim\frac{u_n^2}2,\qquad (1+u_n)^\alpha-1\sim\alpha u_n\ \ (\alpha\in\mathbb{R}). \]

On n'additionne pas les équivalents !

\(n+\frac1n\sim n\) et \(-n\sim1-n\), mais \(\dfrac1n\not\sim1\) : composer des équivalents terme à terme dans une somme est faux en général.

Exemple

Pour \(u_n=\sqrt{n^2+n}-n=n\!\left(\sqrt{1+\frac1n}-1\right)\), avec \(\sqrt{1+x}-1\sim\frac x2\) quand \(x\to0\),

\[ u_n\sim n\cdot\frac1{2n}=\frac12,\qquad\text{donc}\qquad \boxed{u_n\to\frac12.} \]

Suites à valeurs complexes

Vocabulaire

Une suite complexe est \(u:\mathbb{N}\to\mathbb{C}\). Pour \(u_n=a_n+ib_n\) (\(a_n,b_n\in\mathbb{R}\)), on note \(a_n=\operatorname{Re}(u_n)\), \(b_n=\operatorname{Im}(u_n)\), \(\overline{u_n}=a_n-ib_n\) et \(|u_n|=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\).

Propriété

\((u_n)\) complexe est bornée \(\iff\) \((\operatorname{Re}(u_n))\) et \((\operatorname{Im}(u_n))\) sont bornées (car \(|\operatorname{Re}(u_n)|,\, |\operatorname{Im}(u_n)|\leq|u_n|\leq\sqrt{\operatorname{Re}(u_n)^2+\operatorname{Im}(u_n)^2}\)).

Convergence

\(u_n\to\ell\in\mathbb{C}\) lorsque \(\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall n\geq N,\ |u_n-\ell|<\varepsilon\) — même énoncé que dans \(\mathbb{R}\), avec \(|\cdot|\) le module.

Exemple : \(u_n=\dfrac{e^{in\theta}}{n+1}\) vérifie \(|u_n|=\dfrac1{n+1}\to0\), donc \(u_n\to0\).

Théorème — parties réelle et imaginaire \[ \boxed{ u_n\to\ell \iff \operatorname{Re}(u_n)\to\operatorname{Re}(\ell)\ \text{et}\ \operatorname{Im}(u_n)\to\operatorname{Im}(\ell). } \]

Corollaire : si \(u_n\to\ell\), alors \(\overline{u_n}\to\overline\ell\) et \(|u_n|\to|\ell|\). Si \((u_n)\) est réelle et converge dans \(\mathbb{C}\) vers \(\ell\), alors \(\ell\in\mathbb{R}\).

Opérations, extraites, Bolzano–Weierstrass

Les théorèmes sur \(u_n+v_n\), \(u_nv_n\), \(\lambda u_n\), \(\dfrac{u_n}{v_n}\) et les suites extraites restent valables mot pour mot dans \(\mathbb{C}\). En particulier, toute suite complexe bornée possède une suite extraite convergente (on extrait successivement sur \((\operatorname{Re}(u_n))\) puis sur \((\operatorname{Im}(u_{\varphi(n)}))\)).

Exemple : \(u_n=e^{in\theta}\) est bornée (\(|u_n|=1\)), donc possède au moins une valeur d'adhérence.

Annexe : limsup/liminf, suites de Cauchy, et exercices

Limite supérieure et limite inférieure

Pour \((u_n)\) bornée, on pose \(M_n=\sup\{u_k\mid k\geq n\}\) (décroissante) et \(m_n=\inf\{u_k\mid k\geq n\}\) (croissante) ; ces deux suites bornées convergent, et on définit

\[ \boxed{\limsup u_n=\lim_{n\to+\infty}M_n,}\qquad \boxed{\liminf u_n=\lim_{n\to+\infty}m_n.} \]

On a toujours \(\liminf u_n\leq\limsup u_n\), et

\[ \boxed{ (u_n)\text{ converge} \iff \liminf u_n=\limsup u_n=\lim u_n. } \]

Exemple : pour \(u_n=(-1)^n\), \(\limsup u_n=1\) et \(\liminf u_n=-1\) : la suite diverge.

Suites de Cauchy

\((u_n)\) est de Cauchy lorsque

\[ \forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall p,q\geq N,\qquad |u_p-u_q|<\varepsilon, \]

c'est-à-dire que les termes se rapprochent tous les uns des autres à partir d'un certain rang.

Complétude de \(\mathbb{R}\)

Toute suite convergente est de Cauchy, et réciproquement toute suite réelle de Cauchy converge :

\[ \boxed{ (u_n)\text{ converge dans }\mathbb{R} \iff (u_n)\text{ est de Cauchy.} } \]

Exercices

Exercice 1 — nature d'une suite

Énoncé

Soit \(\displaystyle u_n=\left(1+\frac1n\right)^n\) pour \(n\geq1\).

1.On admet que \((u_n)\) est croissante et majorée par \(3\). Que peut-on en conclure ?

2.Que représente \(\sup\{u_n\mid n\geq1\}\) pour la suite \((u_n)\) ?

Exercice 2 — suites adjacentes

Énoncé

On pose, pour \(n\geq1\), \(\displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}\) et \(\displaystyle v_n=u_n+\frac1n\).

1.Montrer que \((u_n)\) est croissante.

2.Montrer que \((v_n)\) est décroissante.

3.En déduire que \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent vers une même limite.

Exercice 3 — équivalent et limite

Énoncé

Déterminer un équivalent simple de \(\displaystyle u_n=\ln\!\left(1+\frac1{n^2}\right)+\sin\!\left(\frac1n\right)\), puis sa limite éventuelle.

Résumé — les réflexes à avoir

Face à une suite, penser dans cet ordre :

identifier sa forme (explicite, récurrente, classique) avant tout calcul ;
étudier monotonie et caractère borné pour appliquer le théorème de la limite monotone ;
pour prouver une limite en toute rigueur, revenir à la définition \(\varepsilon\)-\(N\), ou encadrer avec le théorème des gendarmes ;
pour montrer l'existence d'une limite sans la calculer, chercher des suites adjacentes ;
pour montrer une divergence, exhiber deux suites extraites de limites différentes ;
pour un calcul de limite d'une forme indéterminée, passer par des équivalents — jamais en les additionnant terme à terme ;
pour une suite complexe, tout ramener aux parties réelle et imaginaire.