Chapitre 3 · Applications · Partie 2

Bijections, images et familles

Seconde moitié du chapitre. Quand injectivité et surjectivité se rencontrent, on peut remonter le temps : c'est la bijection. On explore ensuite les deux sens de lecture d'une application — images directes, images réciproques — puis les familles indexées.

Bijections et application réciproque

Définition

Une application \(f:E\to F\) est bijective lorsqu'elle est à la fois injective et surjective, c'est-à-dire

\[ \forall y\in F,\ \exists !\,x\in E,\quad f(x)=y. \]

Chaque élément de \(F\) possède alors exactement un antécédent.

Figure animée · Une bijection de \(\mathbb{N}\) sur \(\mathbb{Z}\)

\(n\longmapsto(-1)^n\left\lfloor\dfrac{n+1}{2}\right\rfloor\) : on énumère \(\mathbb{Z}\) en alternant de part et d'autre de \(0\).

Chaque entier relatif est atteint une fois et une seule.

Exercice guidé · Construire des bijections

▸ De \([0,1]\) vers \([2,3]\) : \(\ f(x)=x+2\).

▸ De \(]-1,1[\) vers \(\mathbb{R}\) : \(\ f(x)=\tan\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\).

▸ De \(\mathbb{N}\) vers \(\mathbb{Z}\) : \(\ f(n)=(-1)^n\left\lfloor\dfrac{n+1}{2}\right\rfloor\).

▸ \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N},\ n\mapsto n+1\) n'est pas bijective : \(0\) n'a pas d'antécédent. Mais \(g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}^{*},\ n\mapsto n+1\) l'est. L'ensemble d'arrivée fait toute la différence.

Théorème · Caractérisation et application réciproque

\(f:E\to F\) est bijective si et seulement s'il existe \(g:F\to E\) telle que

\[ g\circ f=\mathrm{id}_E\qquad\text{et}\qquad f\circ g=\mathrm{id}_F. \]

Une telle \(g\) est alors unique ; on l'appelle application réciproque de \(f\) et on la note \(f^{-1}\). On a de plus \(\big(f^{-1}\big)^{-1}=f\) et \(\ \forall(x,y)\in E\times F,\ \ y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)\).

Attention · Une seule égalité ne suffit pas

Il faut bien les deux relations. Avec \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N},\ n\mapsto n+1\) et \(g:\mathbb{N}\to\mathbb{N},\ g(0)=0,\ g(n)=n-1\) sinon, on a \(g\circ f=\mathrm{id}_{\mathbb{N}}\) mais \(f\circ g\neq\mathrm{id}_{\mathbb{N}}\), et \(f\) n'est pas bijective.

Méthode pratique

Soit \(f:E\to F\). Si, pour tout \(y\in F\), l'équation \(f(x)=y\) d'inconnue \(x\in E\) admet une unique solution \(x_y\), alors \(f\) est bijective et \(f^{-1}(y)=x_y\). Résoudre l'équation, c'est démontrer la bijectivité et calculer la réciproque en même temps.

Exemple rédigé 1

Soit \(f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{2\},\ x\longmapsto\dfrac{2x+1}{x-1}\). Pour \(y\neq 2\) et \(x\neq 1\) :

\[ \begin{aligned} f(x)=y &\iff 2x+1=y(x-1)\\ &\iff 2x-yx=-y-1\\ &\iff (y-2)x=y+1\\ &\iff x=\frac{y+1}{y-2}. \end{aligned} \]

La solution existe et est unique, donc \(f\) est bijective et

\[ f^{-1}:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R}\setminus\{1\},\qquad y\longmapsto\frac{y+1}{y-2}. \]

Exemple rédigé 2

Soit \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\ (x,y)\longmapsto(x+2y,\ 2x+y)\). Pour \((x',y')\in\mathbb{R}^2\) :

\[ \begin{aligned} f(x,y)=(x',y') &\iff\begin{cases}x'=x+2y\\ y'=2x+y\end{cases}\\ &\iff\begin{cases}2y'-x'=3x\\ 2x'-y'=3y\end{cases}\\ &\iff\begin{cases}x=\tfrac13(-x'+2y')\\[.2em] y=\tfrac13(2x'-y')\end{cases} \end{aligned} \]

Donc \(f\) est bijective et \(f^{-1}(x,y)=\left(\tfrac13(-x+2y),\ \tfrac13(2x-y)\right)\).

Propriétés

Soient \(f:E\to F\) et \(g:F\to G\) bijectives. Alors \(g\circ f\) est bijective et

\[ (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}. \]

« On se déshabille dans l'ordre inverse de l'habillage. » Enfin, si \(f:E\to E\) vérifie \(f\circ f=\mathrm{id}_E\) (on dit que \(f\) est une involution), alors \(f\) est bijective et \(f^{-1}=f\) : par exemple \(x\mapsto\frac1x\) sur \(\mathbb{R}^{*}\), ou \(z\mapsto\bar z\) sur \(\mathbb{C}\).

Image directe et image réciproque

Définition · Image directe

Soient \(f:E\to F\) et \(A\subseteq E\). L'image directe de \(A\) par \(f\) est la partie de \(F\)

\[ f(A)=\{y\in F\mid \exists x\in A,\ y=f(x)\}=\{f(x)\mid x\in A\}. \]

Ainsi \(\ y\in f(A)\iff\exists x\in A,\ y=f(x)\). Par convention \(f(\varnothing)=\varnothing\), et \(f(E)\) est appelée l'image de \(f\), notée \(\mathrm{Im}(f)\).

Définition · Image réciproque

Soient \(f:E\to F\) et \(C\subseteq F\). L'image réciproque de \(C\) par \(f\) est la partie de \(E\)

\[ f^{-1}(C)=\{x\in E\mid f(x)\in C\}. \]

Ainsi \(\ x\in f^{-1}(C)\iff f(x)\in C\).

Attention · La notation \(f^{-1}\)

L'écriture \(f^{-1}(C)\) a un sens même si \(f\) n'est pas bijective : ce n'est pas l'image d'un élément par une réciproque, mais une partie de \(E\) définie par une condition.

Quand \(f\) est bijective, les deux lectures coïncident : l'image réciproque de \(C\) par \(f\) est aussi l'image directe de \(C\) par \(f^{-1}\). Aucune ambiguïté — mais uniquement dans ce cas.

Figure animée · Les deux sens de lecture

f(A) est une partie de F : on suit les flèches dans le sens direct.

Exemples · Images directes

▸ Pour \(x\in E\) : \(f(\{x\})=\{f(x)\}\), et si \(A=\{x_1,\dots,x_n\}\) alors \(f(A)=\{f(x_1),\dots,f(x_n)\}\).

▸ \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N},\ n\mapsto n^2\) : \(f(\mathbb{N})\) est l'ensemble des carrés parfaits.

▸ \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x-x^2\) : \(f([0,1])=\left[0,\tfrac14\right]\).

Exemples · Images réciproques

▸ \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto\sin x\) :

\[ f^{-1}(\{0\})=\{x\in\mathbb{R}\mid\sin x=0\}=\{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}. \]

▸ \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x-x^2\) :

\[ f^{-1}(\mathbb{R}_-)=\{x\in\mathbb{R}\mid x(1-x)\leq 0\} =\ ]-\infty,0]\cup[1,+\infty[. \]

▸ \(f:\mathbb{C}^{*}\to\mathbb{C},\ z\mapsto\dfrac{z+1}{z}\), et \(\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\}\) :

\[ \begin{aligned} z\in f^{-1}(\mathbb{U}) &\iff \left|\frac{z+1}{z}\right|=1 \iff |z+1|=|z|\\ &\iff |z+1|^2=|z|^2 \iff 2\,\mathrm{Re}(z)+1=0. \end{aligned} \]

Donc \(f^{-1}(\mathbb{U})=\left\{-\tfrac12+iy\ \middle|\ y\in\mathbb{R}\right\}\) : la médiatrice de \([-1,0]\).

Proposition · Image directe et opérations

Soient \(f:E\to F\) et \(A,B\in\mathcal{P}(E)\). Alors :

\[ \text{(1) } f(A\cup B)=f(A)\cup f(B) \qquad \text{(2) } f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B) \] \[ \text{(3) } A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B) \qquad \text{(4) } f\ \text{injective}\Longrightarrow f(A\cap B)=f(A)\cap f(B) \]

Contre-exemple · L'inclusion (2) est stricte en général

Avec \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x^2\), \(A=\mathbb{R}_-\) et \(B=\mathbb{R}_+\) : \(A\cap B=\{0\}\) donc \(f(A\cap B)=\{0\}\), alors que \(f(A)\cap f(B)=\mathbb{R}_+\).

Proposition · Image réciproque et opérations

Soient \(f:E\to F\) et \(C,D\in\mathcal{P}(F)\). Alors :

\[ \text{(1) } f^{-1}(C\cup D)=f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D) \qquad \text{(2) } f^{-1}(C\cap D)=f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D) \] \[ \text{(3) } f^{-1}\big(\overline{C}\big)=\overline{f^{-1}(C)} \qquad \text{(4) } C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D) \]

L'image réciproque respecte tout — union, intersection, complémentaire — là où l'image directe ne respecte que l'union. C'est la raison pour laquelle, en topologie, la continuité se définit par images réciproques.

Exercice · Image et composition

Énoncé

Soient \(f:E\to F\) et \(g:F\to G\).

1.Pour \(A\in\mathcal{P}(E)\), montrer \((g\circ f)(A)=g\big(f(A)\big)\).

2.Pour \(B\in\mathcal{P}(G)\), montrer \((g\circ f)^{-1}(B)=f^{-1}\big(g^{-1}(B)\big)\).

Exercice · Comparer \(f^{-1}(f(A))\) et \(A\)

Énoncé

Soient \(f:E\to F\), \(A\in\mathcal{P}(E)\) et \(B\in\mathcal{P}(F)\).

1.Comparer \(f^{-1}\big(f(A)\big)\) et \(A\) dans le cas général.

2.Montrer que si \(f\) est injective, il y a égalité.

3.Comparer de même \(f\big(f^{-1}(B)\big)\) et \(B\).

Exercice · Une caractérisation de l'injectivité

Énoncé

Soit \(f:E\to F\) telle que \(\ \forall A,B\in\mathcal{P}(E),\ f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)\). Montrer que \(f\) est injective.

Familles indexées

Définition

Soit \(I\) un ensemble non vide. On appelle famille d'éléments de \(E\) indexée par \(I\) toute application

\[ x:\begin{array}{ccc}I&\longrightarrow&E\\ i&\longmapsto&x(i)=x_i\end{array}, \qquad\text{notée}\qquad x=(x_i)_{i\in I}. \]

Une famille n'est donc rien d'autre qu'une application — seule la notation change, pour mettre en avant les valeurs plutôt que la règle.

Exemples

▸ \(I=[\![0,n]\!]\) : \(x=(x_i)_{0\leq i\leq n\,}\) est une famille finie.

▸ \(I=\mathbb{N}\) : \(x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est une suite d'éléments de \(E\).

▸ \(I=[\![0,n]\!]\times[\![0,m]\!]\) : \(x=(x_{i,j})_{0\leq i\leq n,\ 0\leq j\leq m}\) est une famille double.

▸ \(I=\mathbb{Q}\) : la famille \((a)_{a\in\mathbb{Q}}\) donnée par \(a\mapsto a\).

▸ Si \(P\) est l'ensemble des humains vivants et \(a_p\) l'âge de \(p\), alors \((a_p)_{p\in P}\) est une famille d'entiers.

Définition · Famille de parties

Soit \((A_i)_{i\in I}\) une famille d'éléments de \(\mathcal{P}(E)\). On note

\[ \bigcap_{i\in I}A_i=\{x\in E\mid \forall i\in I,\ x\in A_i\}, \qquad \bigcup_{i\in I}A_i=\{x\in E\mid \exists i\in I,\ x\in A_i\}. \]

Exemples rédigés

▸ Pour \(I=[\![1,n]\!]\) on retrouve \(\bigcap_{i=1}^{n}A_i=A_1\cap\dots\cap A_n\) et \(\bigcup_{i=1}^{n}A_i=A_1\cup\dots\cup A_n\).

▸ \(\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}[-n,n]=\mathbb{R}\). L'inclusion \(\subseteq\) est claire. Réciproquement, si \(x\in\mathbb{R}\), la propriété d'Archimède fournit \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(|x|\leq n\), donc \(x\in[-n,n]\).

▸ \(\displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}^{*}} \left[a,\ a+\tfrac1n\right]=\{a\}\). D'une part \(a\) appartient à tous ces intervalles. D'autre part, si \(x\) est dans l'intersection, alors \(a\leq x\leq a+\frac1n\) pour tout \(n\geq 1\) ; en faisant \(n\to+\infty\) le théorème des gendarmes donne \(x=a\).

▸ Pour \(A\in\mathcal{P}(E)\) : \(\ A=\displaystyle\bigcup_{x\in A}\{x\}\).

▸ L'ensemble triadique de Cantor : \(K_0=[0,1]\), et \(K_{n+1}\) s'obtient en retirant de chaque segment de \(K_n\) son tiers central ouvert ; alors \(K=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}K_n\).

Figure animée · Construction de l'ensemble de Cantor

Étape 0 : \(K_0=[0,1]\).

Propriétés

Soit \((A_i)_{i\in I}\) une famille de parties de \(E\) et \(A\in\mathcal{P}(E)\).

\[ \forall j\in I,\quad \bigcap_{i\in I}A_i\subseteq A_j\subseteq\bigcup_{i\in I}A_i. \] \[ \left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\cap A=\bigcap_{i\in I}\big(A_i\cap A\big), \qquad \left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)\cup A=\bigcup_{i\in I}\big(A_i\cup A\big), \] \[ \left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\cup A=\bigcap_{i\in I}\big(A_i\cup A\big), \qquad \left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)\cap A=\bigcup_{i\in I}\big(A_i\cap A\big). \]

Et les lois de De Morgan généralisées : \(\ \overline{\bigcup_{i\in I}A_i}=\bigcap_{i\in I}\overline{A_i}\ \) et \(\ \overline{\bigcap_{i\in I}A_i}=\bigcup_{i\in I}\overline{A_i}\).

Proposition · Images et familles

Soit \(f:E\to F\), \((A_i)_{i\in I}\) une famille de \(\mathcal{P}(E)\) et \((B_i)_{i\in I}\) une famille de \(\mathcal{P}(F)\). Alors :

\[ f\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)=\bigcup_{i\in I}f(A_i), \qquad f\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\subseteq\bigcap_{i\in I}f(A_i), \] \[ f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}B_i\right)=\bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i), \qquad f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)=\bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i). \]

Même morale qu'en 6 : l'image réciproque commute à tout, l'image directe seulement à la réunion.

Exercices d'approfondissement

Six exercices de niveau concours. Cherche au moins vingt minutes avant d'ouvrir une correction — c'est là que le cours se transforme en réflexe.

Exercice A · Formule du crible (Poincaré)

Énoncé

Soit \(E\) un ensemble fini et \(A_1,\dots,A_n\in\mathcal{P}(E)\). À l'aide des fonctions indicatrices, démontrer que

\[ \mathrm{Card}\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right) =\sum_{\substack{J\subseteq[\![1,n]\!]\\ J\neq\varnothing}} (-1)^{|J|+1}\,\mathrm{Card}\left(\bigcap_{i\in J}A_i\right). \]

Exercice B · Inverses à gauche et à droite

Énoncé

Soit \(f:E\to F\) avec \(E\neq\varnothing\).

1.Montrer : \(f\) injective \(\iff\) il existe \(g:F\to E\) telle que \(g\circ f=\mathrm{id}_E\).

2.Montrer : \(f\) surjective \(\iff\) il existe \(h:F\to E\) telle que \(f\circ h=\mathrm{id}_F\).

3.Que dire lorsque \(g\) ou \(h\) est unique ?

Exercice C · Théorème de Cantor

Énoncé

Soit \(E\) un ensemble. Montrer qu'il n'existe aucune surjection de \(E\) sur \(\mathcal{P}(E)\). Indication : considérer \(A=\{x\in E\mid x\notin f(x)\}\).

Exercice D · Applications idempotentes

Énoncé

Soit \(f:E\to E\) telle que \(f\circ f=f\).

1.Montrer que si \(f\) est injective, alors \(f=\mathrm{id}_E\).

2.Montrer que si \(f\) est surjective, alors \(f=\mathrm{id}_E\).

3.Montrer que \(f(E)=\{x\in E\mid f(x)=x\}\).

Exercice E · L'application \(C\mapsto f^{-1}(C)\)

Énoncé

Soit \(f:E\to F\) et

\[ \Phi:\begin{array}{ccc}\mathcal{P}(F)&\longrightarrow&\mathcal{P}(E)\\ C&\longmapsto&f^{-1}(C)\end{array} \]

1.Montrer : \(\Phi\) injective \(\iff\) \(f\) surjective.

2.Montrer : \(\Phi\) surjective \(\iff\) \(f\) injective.

Exercice F · Une correspondance de Galois

Énoncé

Soit \(f:E\to F\), \(A\in\mathcal{P}(E)\) et \(B\in\mathcal{P}(F)\).

1.Montrer l'équivalence \(\ f(A)\subseteq B\iff A\subseteq f^{-1}(B)\).

2.En déduire, sans nouveau calcul, les inclusions \(A\subseteq f^{-1}(f(A))\) et \(f(f^{-1}(B))\subseteq B\).

3.En déduire \(f\big(f^{-1}(f(A))\big)=f(A)\).

Résumé

\(f\) bijective \(\iff\exists g,\ g\circ f=\mathrm{id}_E\) et \(f\circ g=\mathrm{id}_F\) ; alors \(g=f^{-1}\) et \((g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\).
\(f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)\) mais seulement \(f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)\), avec égalité pour toutes parties \(\iff f\) injective.
L'image réciproque commute à \(\cup\), \(\cap\) et au complémentaire — toujours.
\(A\subseteq f^{-1}(f(A))\) avec égalité si \(f\) injective ; \(f(f^{-1}(B))\subseteq B\) avec égalité si \(f\) surjective.

« Image directe : on suit les flèches. Image réciproque : on les remonte. »