Chapitre 3 · Applications · Partie 1

Applications, indicatrices, composition

Une application, c'est une règle qui ne laisse aucun élément sans réponse et n'en donne jamais deux. Première moitié du chapitre : le vocabulaire, les indicatrices, la composition, puis les deux qualités qui gouvernent tout — injectivité et surjectivité.

Application d'un ensemble vers un autre

Définition

Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles. On appelle application de \(E\) vers \(F\) toute correspondance \(f\) qui, à chaque élément \(x\in E\), associe un unique élément \(f(x)\in F\).

Si l'on autorise certains \(x\) à n'avoir aucune image, on parle seulement de fonction ; l'ensemble des \(x\) possédant une image est alors son domaine de définition.

Notations \[ f:E\longrightarrow F,\qquad f:\begin{array}{ccc}E&\longrightarrow&F\\ x&\longmapsto&f(x)\end{array},\qquad f:E\to F,\ x\longmapsto f(x). \]

\(E\) est l'ensemble de départ, \(F\) l'ensemble d'arrivée. La flèche \(\to\) relie les ensembles, la flèche \(\longmapsto\) relie les éléments : ne jamais les confondre.

Figure animée · Est-ce une application ?

Oui : chaque élément de E part avec exactement une flèche.

1.1 — Vocabulaire

Définitions

Soit \(f:E\to F\) une application.

Pour \(x\in E\), l'élément \(f(x)\) est appelé image de \(x\) par \(f\).
Pour \(y\in F\), on appelle antécédent de \(y\) par \(f\) tout élément \(x\in E\) tel que \(y=f(x)\).
Le graphe de \(f\) est la partie de \(E\times F\) \(\ \Gamma_f=\{(x,y)\in E\times F\mid y=f(x)\}=\{(x,f(x))\mid x\in E\}\).

Une image existe et est unique ; un antécédent, lui, peut être absent, unique, ou multiple. Toute l'asymétrie du chapitre est là.

Remarque · Notation

L'ensemble des applications de \(E\) dans \(F\) est noté \(\mathcal{F}(E,F)\), ou \(\mathcal{A}(E,F)\), ou encore \(F^{E}\). Cette dernière notation est justifiée : si \(E\) et \(F\) sont finis, \(\mathrm{Card}\big(F^{E}\big)=\mathrm{Card}(F)^{\,\mathrm{Card}(E)}\).

Définition · Égalité de deux applications

Deux applications \(f\) et \(g\) sont égales lorsqu'elles ont même ensemble de départ \(E\), même ensemble d'arrivée \(F\), et \(\forall x\in E,\ f(x)=g(x)\). Changer l'ensemble d'arrivée change l'application : \(x\mapsto x^2\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) et de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}_+\) sont deux applications différentes.

Exemples

▸ L'identité de \(E\) : \(\ \mathrm{id}_E:E\to E,\ x\longmapsto x\).

▸ Si \(A\subseteq E\), l'injection canonique \(\ j_A:A\to E,\ x\longmapsto x\).

▸ \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\ (x,y)\longmapsto x-2y\).

▸ Une suite réelle n'est rien d'autre qu'une application \(u:\mathbb{N}\to\mathbb{R}\), notée \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\).

Restriction, prolongement, fonction indicatrice

Définition · Restriction

Soit \(f:E\to F\) et \(A\subseteq E\). On appelle restriction de \(f\) à \(A\) l'application

\[ f|_{A}:\begin{array}{ccc}A&\longrightarrow&F\\ x&\longmapsto&f(x)\end{array}. \]

On restreint aussi parfois l'ensemble d'arrivée : si \(f(E)\subseteq B\), l'application \(E\to B,\ x\mapsto f(x)\) est appelée corestriction de \(f\) à \(B\).

Définition · Prolongement

Soit \(G\) un ensemble tel que \(E\subseteq G\). On appelle prolongement de \(f\) à \(G\) toute application \(g:G\to F\) vérifiant

\[ g|_{E}=f,\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \forall x\in E,\ g(x)=f(x). \]

Le prolongement n'est pas unique : les valeurs de \(g\) sur \(G\setminus E\) sont libres. La restriction, elle, est unique.

Exemples

▸ Pour \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+,\ x\mapsto|x|\), on a \(f|_{\mathbb{R}_+}=\mathrm{id}_{\mathbb{R}_+}\) et \(f|_{\mathbb{R}_-}:x\mapsto-x\).

▸ L'application \(g:\mathbb{C}\to\mathbb{R}_+,\ z\mapsto|z|\) (module) est un prolongement à \(\mathbb{C}\) de la valeur absolue \(f\).

2.1 — Fonction indicatrice

Définition

Soit \(A\in\mathcal{P}(E)\). On appelle fonction indicatrice (ou caractéristique) de \(A\) l'application

\[ \mathbb{1}_A:E\longrightarrow\{0,1\},\qquad \mathbb{1}_A(x)=\begin{cases}1&\text{si }x\in A,\\[.2em] 0&\text{si }x\notin A.\end{cases} \]

Figure interactive · \(\mathbb{1}_{]a,b[}\)

Déplace \(x\) sur l'axe : l'indicatrice ne connaît que deux réponses.

Exemples

▸ \(\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}:\mathbb{R}\to\{0,1\}\) vaut \(1\) sur les rationnels et \(0\) sur les irrationnels (fonction de Dirichlet).

▸ Pour \(a

Propriétés · Le calcul des indicatrices

Soient \(A,B\in\mathcal{P}(E)\). Alors :

\[ \begin{aligned} &\text{(1)}\ \ \mathbb{1}_A^{\,2}=\mathbb{1}_A &&\text{(2)}\ \ \mathbb{1}_{\overline{A}}=1-\mathbb{1}_A\\[.3em] &\text{(3)}\ \ \mathbb{1}_{A\cap B}=\mathbb{1}_A\times\mathbb{1}_B &&\text{(4)}\ \ \mathbb{1}_{A\cup B}=\mathbb{1}_A+\mathbb{1}_B-\mathbb{1}_A\mathbb{1}_B\\[.3em] &\text{(5)}\ \ \mathbb{1}_{A\setminus B}=\mathbb{1}_A(1-\mathbb{1}_B) &&\text{(6)}\ \ \mathbb{1}_{A\Delta B}=\big|\mathbb{1}_A-\mathbb{1}_B\big|\\[.3em] &\text{(7)}\ \ A=B\iff\mathbb{1}_A=\mathbb{1}_B &&\text{(8)}\ \ A\subseteq B\iff\mathbb{1}_A\leq\mathbb{1}_B \end{aligned} \]

Exercice · Indicatrice d'une réunion finie

Énoncé

Soient \(A_1,A_2,\dots,A_n\in\mathcal{P}(E)\). Calculer \(\mathbb{1}_{\bigcup_{i=1}^{n}A_i}\) en fonction des \(\mathbb{1}_{A_i}\).

Composition d'applications

Définition

Soient \(f:E\to F\) et \(g:F\to G\). On appelle composée de \(f\) par \(g\) l'application

\[ g\circ f:\begin{array}{ccc}E&\longrightarrow&G\\ x&\longmapsto&g\big(f(x)\big)\end{array}. \]

Attention à l'ordre de lecture : dans \(g\circ f\), c'est \(f\) qui agit en premier. La composition n'a de sens que si l'arrivée de \(f\) est le départ de \(g\).

Figure animée · Trajet de \(x\) sous \(g\circ f\)

Le point est en \(x\in E\).

Propriétés

Soient \(f:E\to F\), \(g:F\to G\), \(h:G\to H\). Alors :

\[ h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f \qquad\text{(associativité)}, \] \[ f\circ\mathrm{id}_E=f\qquad\text{et}\qquad \mathrm{id}_F\circ f=f. \]

En revanche la composition n'est pas commutative : avec \(f(x)=x+1\) et \(g(x)=x^2\) sur \(\mathbb{R}\), on a \(g\circ f(x)=(x+1)^2\) alors que \(f\circ g(x)=x^2+1\).

Exemples

▸ \(g:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R},\ x\mapsto\sqrt{x}\) et \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+,\ x\mapsto x^2\) donnent \(g\circ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto|x|\).

▸ Avec \(g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\ (x,y)\mapsto x^2+y^2\) et \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\ (r,\theta)\mapsto(r\cos\theta,r\sin\theta)\) :

\[ g\circ f(r,\theta)=(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2=r^2. \]

Exercice · Une équation fonctionnelle sur \(\mathbb{N}\)

Énoncé

Soit \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) telle que \(\ f\circ f(n)=n+1\ \) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

1.Montrer que \(f(n+1)=f(n)+1\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

2.En déduire qu'il existe \(c\in\mathbb{N}\) tel que \(f(n)=n+c\).

3.Conclure.

Injectivité et surjectivité

Définition · Injection

Une application \(f:E\to F\) est injective lorsque

\[ \forall x,x'\in E,\quad f(x)=f(x')\Longrightarrow x=x', \]

ou, par contraposée, \(\ x\neq x'\Longrightarrow f(x)\neq f(x')\). Autrement dit : tout élément de \(F\) admet au plus un antécédent.

Définition · Surjection

Une application \(f:E\to F\) est surjective lorsque

\[ \forall y\in F,\ \exists x\in E,\quad y=f(x), \]

c'est-à-dire : tout élément de \(F\) admet au moins un antécédent — ce qui équivaut à \(f(E)=F\).

Attention · Les négations \[ f\ \text{non injective}\iff\exists x\neq x',\ f(x)=f(x') \qquad f\ \text{non surjective}\iff\exists y\in F,\ \forall x\in E,\ f(x)\neq y. \]

Pour infirmer l'injectivité, un seul couple suffit ; pour l'établir, il faut partir de \(f(x)=f(x')\) quelconque.

Figure animée · Les quatre situations

Injective : au plus une flèche arrive sur chaque point de F. Ici γ n'est pas atteint : pas surjective.

Exemples

▸ \(\mathrm{id}_E\) est injective et surjective.

▸ Toute application strictement monotone \(f:I\to\mathbb{R}\) (\(I\) intervalle) est injective.

▸ \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x^2\) n'est ni injective (\(f(-1)=f(1)\)) ni surjective (\(-1\) n'a pas d'antécédent). En revanche \(f|_{\mathbb{R}_+}\) et \(f|_{\mathbb{R}_-}\) sont injectives, et \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+,\ x\mapsto x^2\) est surjective.

▸ \(f:\mathbb{C}\to\mathbb{C},\ z\mapsto z^2\) est surjective (tout complexe admet une racine carrée) mais non injective.

Propriétés · Composition

Soient \(f:E\to F\) et \(g:F\to G\).

\[ \begin{aligned} &\text{(1) } f,g\ \text{injectives}\Longrightarrow g\circ f\ \text{injective} &&\text{(2) } g\circ f\ \text{injective}\Longrightarrow f\ \text{injective}\\[.3em] &\text{(3) } f,g\ \text{surjectives}\Longrightarrow g\circ f\ \text{surjective} &&\text{(4) } g\circ f\ \text{surjective}\Longrightarrow g\ \text{surjective} \end{aligned} \]

Attention · Les réciproques sont fausses

\(g\circ f\) injective n'entraîne pas \(g\) injective, ni \(g\circ f\) surjective \(f\) surjective. Prendre \(f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R},\ x\mapsto x\) et \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x^2\) : \(g\circ f\) est injective sur \(\mathbb{R}_+\), mais \(g\) ne l'est pas.

Exercice · L'application \(X\mapsto X\cup A\)

Énoncé

Soit \(A\in\mathcal{P}(E)\) et

\[ \varphi_A:\begin{array}{ccc}\mathcal{P}(E)&\longrightarrow&\mathcal{P}(E)\\ X&\longmapsto&X\cup A\end{array} \]

Montrer que \(\varphi_A\) est injective \(\iff A=\varnothing\), puis que \(\varphi_A\) est surjective \(\iff A=\varnothing\).

Résumé

Une application \(f:E\to F\) associe à chaque \(x\in E\) une seule image \(f(x)\) ; les antécédents, eux, peuvent manquer ou abonder.
\(\mathbb{1}_{A\cap B}=\mathbb{1}_A\mathbb{1}_B\), \(\mathbb{1}_{\overline A}=1-\mathbb{1}_A\), et \(A=B\iff\mathbb{1}_A=\mathbb{1}_B\) : les ensembles se calculent.
\(f\) injective \(\iff\big(f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'\big)\) ; \(f\) surjective \(\iff f(E)=F\) ; bijective \(\iff\forall y\in F,\ \exists!x\in E,\ f(x)=y\).
\(g\circ f\) injective \(\Rightarrow f\) injective ; \(g\circ f\) surjective \(\Rightarrow g\) surjective. Retenir : « ce qui est au contact de \(E\) hérite de l'injectivité, ce qui est au contact de \(G\) hérite de la surjectivité. »

« Injectif : on ne perd rien. Surjectif : on n'oublie rien. Bijectif : on peut revenir. »