Axiomes, définitions, théorèmes

Le vocabulaire de base.

Définition · axiome

Dans une théorie, on appelle axiomes les propositions admises sans démonstration, prises comme point de départ. Tout le reste s'en déduit.

On ne remonte pas à l'infini : il faut bien partir de quelque chose.
On admettra l'existence de \(\mathbb{R}\) et de ses propriétés usuelles.

Exemple. « Par deux points distincts passe une unique droite » est un axiome de la géométrie d'Euclide.

Définition · définition

Une définition donne un nom à un objet vérifiant une propriété précise. Le nom n'apporte rien : il résume une propriété.

Pour définir la classe des objets « machin », deux rédactions :

« On appelle machin tout objet qui vérifie… »

« Soit \(x\) un objet. On dit que \(x\) est un machin si… »

Exemple · nombre pair

Soit \(n\in\mathbb{Z}\). On dit que \(n\) est pair s'il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(n=2k\).

Exemple · fonction croissante

Soient \(I\) un intervalle et \(f:I\to\mathbb{R}\). On dit que \(f\) est croissante sur \(I\) si :

\[ \forall x,y\in I,\quad x

Théorèmes, lemmes, corollaires

Un théorème est une proposition démontrée à partir des axiomes. Trois variantes de vocabulaire :

Lemme — petit résultat préparatoire, marche vers un théorème plus gros.
Corollaire — conséquence quasi immédiate d'un théorème.
Caractérisation — condition équivalente à la définition (une « redéfinition »).

Définition

Soient \(I\) un intervalle et \(f:I\to\mathbb{R}\). \(f\) est croissante sur \(I\) si \(\forall x,y\in I,\ x

Théorème · caractérisation par la dérivée

Soient \(I\) un intervalle et \(f:I\to\mathbb{R}\) dérivable. Alors :

\[ f \text{ croissante sur } I \iff \forall x\in I,\ f'(x)\ge 0 \]

Le théorème redéfinit la croissance dans le cas dérivable : c'est bien une caractérisation.

Introduire une variable, donner un nom à un objet

« Soit… » / « On pose… »

La règle numéro 1

Tout objet dont on parle doit d'abord être introduit.

Mettez-vous à la place du lecteur : il ne sait pas ce que désigne un symbole tant que vous ne l'avez pas présenté.
Deux familles de symboles : les variables et les constantes.

Écrire \(f(x)=x+1\) sans avoir introduit \(x\), c'est comme parler de quelqu'un sans jamais dire de qui il s'agit.

Variable

Une variable ne représente aucun objet fixé : on en prend un quelconque, indéfini, pour parler de tous à la fois. Pour introduire \(x\) parcourant un ensemble \(E\), on écrit :

« Soit \(x\in E\). »

« Soit » = acte de naissance de \(x\).
\(x\) « meurt » à la fin de la preuve ; on peut le réutiliser après.

Variable à vie courte

On privilégie « Pour tout » :

\[ \text{« Pour tout } x\in\mathbb{R},\ f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^x.\text{ »} \]

plutôt que « Soit \(x\in\mathbb{R}\). Alors \(f'(x)=\dots\) ».

Variables muettes

Certaines naissent dans un symbole \(\sum,\ \prod,\ \int\) et n'ont pas besoin de « Soit » :

\[ \sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}, \qquad \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{n t^2}\,\mathrm{d}t \]

Ici \(k\) et \(t\) sont muettes. Mais \(n\), lui, doit être introduit : « Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). »

Constante

Une constante désigne un objet fixe, parfaitement défini : \(3\), \(\pi\), \(\cos\), \(\mathscr{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})\)… On peut aussi nommer soi-même une quantité pour l'alléger.

Pour donner le nom \(K\) à la quantité \(\dfrac{\mathrm{e}^{\alpha}+1}{\alpha^2+1}\) :

« On pose \(K=\dfrac{\mathrm{e}^{\alpha}+1}{\alpha^2+1}\). » ou « On note \(K\) le réel \(\dfrac{\mathrm{e}^{\alpha}+1}{\alpha^2+1}\). »

Le nom doit être libre

La lettre choisie (\(K\)) ne doit pas déjà désigner autre chose.

Objets déjà introduits

La quantité nommée ne contient que des objets connus (ici \(\alpha\)).

Dépendance

Si \(K\) dépend de \(\alpha\) et qu'on fera varier \(\alpha\), mieux vaut noter \(K_\alpha\) pour ne pas l'oublier : \(K_\alpha=\dfrac{\mathrm{e}^{\alpha}+1}{\alpha^2+1}\).

« Soit » vs « On note »

Pour un objet fixé et connu, on écrit « On note \(f\) la fonction \(x\mapsto x^2\mathrm{e}^x\) » (et non « Soit \(f\)… »).

Attention · nommer ≠ exister

Il ne suffit pas de vouloir qu'un objet existe pour qu'il existe.

Toute phrase « On note \(x\) l'unique objet tel que… » suppose prouvée l'existence de \(x\). Sinon le raisonnement est sans objet.

Un piège classique

Faux énoncé : « 1 est le plus grand entier naturel non nul. »

Analyse : on note \(N\) ce plus grand entier. Si \(N>1\), alors \(N^2>N\) (car on multiplie par \(N>0\)), et \(N^2\in\mathbb{N}^*\) dépasse \(N\) : contradiction. On en tire \(N=1\)… mais ce « plus grand entier » n'existe pas : la preuve part d'un objet fantôme.

Montrer une proposition universelle

\(\forall x\in E,\ \mathscr{P}(x)\)

Rédaction type

« Soit \(x\in E\). (introduction de la variable)

Montrons que \(\mathscr{P}(x)\). »

⋮ (preuve de \(\mathscr{P}(x)\))

On prend un \(x\) quelconque : ce qu'on démontre pour lui vaut alors pour tous.

Exemple · une inégalité

Montrer que \(\forall x\in\mathbb{R},\quad \dfrac{x}{x^2+1}\le \dfrac{1}{2}\).

Démonstration

Soit \(x\in\mathbb{R}\). Montrons que \(\dfrac{x}{x^2+1}\le\dfrac12\).

Comme \((x-1)^2\ge 0\) (un carré est positif), on a \(x^2+1\ge 2x\).

Or \(x^2+1>0\), donc en divisant : \(\dfrac{2x}{x^2+1}\le 1\), c'est-à-dire \(\dfrac{x}{x^2+1}\le\dfrac12\). \(\blacksquare\)

Exemple · divisibilité

Montrer que \(\forall n\in\mathbb{N},\ n^2+n\) est pair.

Démonstration

Soit \(n\in\mathbb{N}\). Montrons que \(n^2+n\) est pair.

On factorise : \(n^2+n = n(n+1)\).

Parmi deux entiers consécutifs \(n\) et \(n+1\), l'un est pair. Donc leur produit \(n(n+1)\) est pair. \(\blacksquare\)

Le « Soit \(n\) » suffit à couvrir tous les entiers : on n'a testé aucune valeur particulière, seulement la structure.

Montrer l'existence d'un objet

\(\exists x\in E,\ \mathscr{P}(x)\)

Rédaction type

Quand on a un exemple en tête, on écrit :

« Posons \(x=\dots\) (l'exemple qu'on a trouvé)

Vérifions que \(\mathscr{P}(x)\). »

⋮ (vérification)

La difficulté n'est pas la vérification, mais trouver le bon exemple. Pas de recette générale — voir plus loin l'analyse-synthèse.

Exemple · une racine assez grande

Montrer que \(\forall x,y\in\mathbb{N},\ \exists z\in\mathbb{N},\ \sqrt{z}>x+y\).

Démonstration

Soient \(x,y\in\mathbb{N}\). Posons \(z=(x+y+1)^2\).

D'une part, \(z\in\mathbb{N}\) (carré d'un entier). D'autre part :

\[ \sqrt{z}=|x+y+1|=x+y+1>x+y \qquad\blacksquare \]

Exemple · un point fixe

Montrer qu'il existe \(x\in\mathbb{R}\) tel que \(\cos x = x\).

Démonstration

Posons \(g(x)=\cos x - x\), continue sur \(\mathbb{R}\).

\(g(0)=1>0\) et \(g\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-\tfrac{\pi}{2}<0\).

Par le TVI, \(g\) s'annule : il existe \(x\in\left]0,\tfrac{\pi}{2}\right[\) tel que \(g(x)=0\), i.e. \(\cos x=x\). \(\blacksquare\)

Montrer l'unicité d'un objet

« au plus un »

Rédaction type

Objectif : montrer qu'il y a au plus un élément de \(E\) vérifiant \(\mathscr{P}\).

« Soient \(x,x'\in E\).

On suppose \(\mathscr{P}(x)\) et \(\mathscr{P}(x')\).

Montrons que \(x=x'\). »

On part de deux objets ayant la propriété ; si on prouve qu'ils sont forcément égaux, l'unicité est acquise.

Deux pièges à éviter

« au plus un » ≠ « exactement un ». Prouver \(\exists!\,x,\ \mathscr{P}(x)\) demande aussi l'existence.
Pas besoin de raisonner par l'absurde en supposant \(x\ne x'\). On les suppose quelconques et on montre qu'ils coïncident.

Unicité complète \[ \exists!\,x\in E,\ \mathscr{P}(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \text{existence (§4)}\ +\ \text{unicité (§5)} \]

Exemple · existence et unicité

Montrer qu'il existe un unique \(x\in\mathbb{R}_+\) tel que \(x^2=1\).

Démonstration

Existence. Posons \(x=1\) : \(x\in\mathbb{R}_+\) et \(x^2=1\).

Unicité. Soient \(x,x'\in\mathbb{R}_+\) avec \(x^2=x'^2=1\).

Alors \(x^2=x'^2 \Rightarrow (x-x')(x+x')=0\), donc \(x=x'\) ou \(x=-x'\).

Comme \(x,x'\ge 0\), le cas \(x=-x'\) force \(x=x'=0\) — exclu ici. Dans tous les cas \(x=x'\). \(\blacksquare\)

Disjonction, implication, équivalence

\(\vee \quad\Rightarrow\quad \Leftrightarrow\)

6.1 — Montrer une disjonction « p ou q »

\((p \text{ ou } q)\ \Longleftrightarrow\ (\text{non } p)\Rightarrow q\). Si \(p\) est fausse, alors \(q\) doit être vraie.

« Supposons \(p\) fausse.

Montrons que \(q\) est vraie. »

Exemple

Montrer que \(\forall x\in\mathbb{R},\ \max\{x^2,(x-2)^2\}\ge 1\).

Démonstration

Soit \(x\in\mathbb{R}\). Il faut montrer \(x^2\ge1\) ou \((x-2)^2\ge1\).

Supposons \(x^2<1\), i.e. \(-1

Alors \(-3 < x-2<-1\). Le carré étant décroissant sur \( \mathbb{R}_- \) : \( (x-2)^2\ge(-1)^2=1 \). \( \blacksquare \)

Rappel · le maximum de deux réels \[ \max\{a,b\}= \begin{cases} a & \text{si } a\ge b\\ b & \text{si } b\ge a\end{cases} \]

\[ \max\{a,b\}\ge m \quad\Longleftrightarrow\quad a\ge m \ \text{ou}\ b\ge m \]

À comparer avec le minimum :

\[ \min\{a,b\}\ge m \iff a\ge m \ \text{et}\ b\ge m \]

\(\max\ge\) donne ou (un seul suffit) ; \(\min\ge\) donne et (les deux).

6.2 — Montrer une implication « p ⇒ q »

« Supposons \(p\) vraie.

Montrons que \(q\) est vraie. »

La flèche \(\Rightarrow\) ne veut pas dire « donc » — on l'utilise rarement. « \(p\) donc \(q\) » est un raisonnement ; « \(p\Rightarrow q\) » est une proposition. En rédaction : « donc », « ainsi », « par conséquent »… pas de flèche.

Exemple

Montrer que \(\forall x\in[0,1],\ \big(x-x^2\in\mathbb{N}\big)\Rightarrow x\in\{0,1\}\).

Démonstration

Soit \(x\in[0,1]\). Supposons \(x-x^2\in\mathbb{N}\). Montrons \(x\in\{0,1\}\).

Sur \([0,1]\) : \(0\le x-x^2\le \tfrac14\) (max en \(x=\tfrac12\)).

Le seul entier dans \(\big[0,\tfrac14\big]\) est \(0\), donc \(x-x^2=0\), d'où \(x(1-x)=0\) et \(x\in\{0,1\}\). \(\blacksquare\)

6.3 — Contredire une implication

\(\text{non}(p\Rightarrow q)\ \Longleftrightarrow\ p \text{ ET non } q\). Un contre-exemple suffit : on exhibe un cas où \(p\) vraie et \(q\) fausse.

« Montrons que \(p\) est vraie. ⋮

Montrons que \(q\) est fausse. ⋮ »

Nier \(\forall x,\ \mathscr{P}(x)\Rightarrow\mathscr{Q}(x)\) donne \(\exists x,\ \mathscr{P}(x)\text{ et non }\mathscr{Q}(x)\).

Exemple · sinus n'est pas croissant

Montrer qu'il est faux que \(\forall x,y\in\mathbb{R},\ x

Démonstration

Montrons : \(\exists x,y\in\mathbb{R},\ x < y\) et \(\sin x>\sin y\).

Posons \(x=\dfrac{\pi}{2}\) et \(y=\pi\). Alors \(x < y\), et

\[ \sin x = 1 > 0 = \sin y \qquad\blacksquare \]

Choix trouvé après réflexion : il fallait \(\sin\) décroissant entre \(x\) et \(y\).

6.4 — Montrer une équivalence « p ⇔ q »

(a) Double implication

• Supposons \(p\). Montrons \(q\).
• Réciproquement, supposons \(q\). Montrons \(p\).

(b) Chaîne d'équivalences \[ p \iff \cdots \iff \cdots \iff q \]

\(\Leftrightarrow\) ne veut pas dire « c'est-à-dire ». On l'emploie rarement : surtout pour résoudre des équations et montrer des égalités d'ensembles.

Exemple

Montrer que \(\forall x,y\in\mathbb{R},\ x^2+y^2=0 \iff x=y=0\).

Démonstration

(\(\Leftarrow\)) Si \(x=y=0\) alors \(x^2+y^2=0\) : trivial.

(\(\Rightarrow\)) Supposons \(x^2+y^2=0\). Alors \(x^2=-y^2\), avec \(x^2\ge0\) et \(-y^2\le0\), donc \(x^2=-y^2=0\), d'où \(x=0\) et \(y=0\). \(\blacksquare\)

6.5 — Le piège du ⇔

Un \(\iff\) vous engage en sens direct ET réciproque. On peut sommer des (in)égalités, mais pas les « dé-sommer ».

Contre-exemple. \(1+3=2+2\) mais \(1\ne 2\) et \(3\ne 2\). Sommer va bien ; défaire la somme, non :

\[ a=b \text{ et } c=d \ \Longrightarrow\ a+c=b+d \quad\text{(vrai)} \]

mais la réciproque est fausse.

En revanche ceci est correct (sens direct seulement) :

\[ \big(\forall k\in[\![1,n]\!],\ a_k=b_k\big)\ \Longrightarrow\ \sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^n b_k \]

Inclusion ou égalité d'ensembles

\(E\subset F \qquad E=F\)

7.1 — Montrer une inclusion « E ⊂ F »

\(E\subset F \ \Longleftrightarrow\ \forall x,\ (x\in E \Rightarrow x\in F)\). On prend un élément de \(E\) et on montre qu'il est dans \(F\).

« Soit \(x\in E\).

Montrons que \(x\in F\). »

Exemple

On pose \(E=\{\,k(k+1)\mid k\in\mathbb{N}\,\}\). Montrer que \(E\subset 2\mathbb{N}\) (les éléments de \(E\) sont pairs).

Démonstration

Soit \(n\in E\) : il existe \(k\in\mathbb{N}\) avec \(n=k(k+1)\). Montrons \(n\in 2\mathbb{N}\).

Parmi \(k\) et \(k+1\) (deux entiers consécutifs), l'un est pair. Donc le produit \(n=k(k+1)\) est pair : \(n\in 2\mathbb{N}\). \(\blacksquare\)

7.2 — Montrer une égalité « E = F »

(a) Double inclusion

• Soit \(x\in E\). Montrons \(x\in F\).
• Réciproquement, soit \(x\in F\). Montrons \(x\in E\).

(b) Chaîne d'équivalences \[ \forall x,\quad x\in E \iff \cdots \iff x\in F \]

Exemple · par double inclusion

Montrer que \(\mathbb{R}_-=\{\,x\in\mathbb{R}\mid \forall y>0,\ x\le y\,\}\).

Démonstration

(\(\subset\)) Soit \(x\in\mathbb{R}_-\). Pour tout \(y>0\) : \(x\le 0 < y\). ✓

(\(\supset\)) Soit \(x\) tel que \(\forall y>0,\ x\le y\). Montrons \(x\le 0\).

Par l'absurde, si \(x>0\), prenons \(y=\dfrac{x}{2}>0\) : alors \(x\le\dfrac{x}{2}\) donne \(x\le 0\), contradiction.

Donc \(x\le 0\), i.e. \(x\in\mathbb{R}_-\). \(\blacksquare\)

Le raisonnement par récurrence

Initialisation → hérédité

8.1 — Récurrence simple

Soit \(A\subset\mathbb{N}\). Si \(0\in A\) et \(\forall n\in\mathbb{N},\ n\in A\Rightarrow n+1\in A\), alors \(A=\mathbb{N}\).

Rédaction type — \(\forall n\in\mathbb{N},\ \mathscr{P}_n\)

• Initialisation : vérifier \(\mathscr{P}_0\).

• Hérédité : soit \(n\in\mathbb{N}\) ; on suppose \(\mathscr{P}_n\) ; montrons \(\mathscr{P}_{n+1}\).

8.2 — Deux erreurs à ne jamais commettre

Débuter l'hérédité par « Supposons \(\mathscr{P}_n\) vraie pour tout \(n\) » : gravissime. On suppose alors ce qu'on veut prouver !
« \(\mathscr{P}_n\) vraie pour un certain \(n\) » : c'est un \(\exists n\), alors que l'hérédité est un \(\forall n,\ (\mathscr{P}_n\Rightarrow\mathscr{P}_{n+1})\).

On fixe un \(n\) quelconque et on suppose \(\mathscr{P}_n\) pour ce \(n\) : c'est un « Soit \(n\) », pas un « pour tout ».

Exemple · suite majorée

\(a_0=1\), \(a_{n+1}=1+\dfrac{a_n}{n+1}\). Montrer que \(\forall n,\ a_n\le 2\).

Démonstration

Init. \(a_0=1\le 2\). ✓

Hérédité. Soit \(n\in\mathbb{N}\), supposons \(a_n\le 2\).

Si \(n=0\) : \(a_1=1+a_0=2\le 2\).
Si \(n\ge 1\) : \(a_{n+1}=1+\dfrac{a_n}{n+1}\le 1+\dfrac{2}{2}=2\).

Donc \(a_{n+1}\le 2\). \(\blacksquare\)

On distingue \(n=0\) et \(n\ge1\) car le majorant \(\tfrac{1}{n+1}\) dépend de \(n\).

8.3 — Récurrence double

Soit \(A\subset\mathbb{N}\). Si \(0\in A\) et \(1\in A\), et \(\forall n,\ (n\in A \text{ et } n+1\in A)\Rightarrow n+2\in A\), alors \(A=\mathbb{N}\).

Rédaction type

• Init. : vérifier \(\mathscr{P}_0\) ET \(\mathscr{P}_1\).

• Hérédité : soit \(n\) ; on suppose \(\mathscr{P}_n\) et \(\mathscr{P}_{n+1}\) ; montrons \(\mathscr{P}_{n+2}\).

Exemple · suite récurrente d'ordre 2

\(u_0=4\), \(u_1=5\), \(u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n\). Montrer \(\forall n,\ u_n=2^n+3\).

Démonstration

Init. \(u_0=4=2^0+3\) et \(u_1=5=2^1+3\). ✓

Hérédité. Soit \(n\), supposons \(u_n=2^n+3\) et \(u_{n+1}=2^{n+1}+3\).

\[ u_{n+2}=3(2^{n+1}+3)-2(2^n+3) = (3-1)2^{n+1}+(9-6)=2^{n+2}+3 \qquad\blacksquare \]

8.4 — Récurrence forte

Soit \(A\subset\mathbb{N}\). Si \(0\in A\) et \(\forall n,\ \big(\forall k\in[\![0,n]\!],\ k\in A\big)\Rightarrow n+1\in A\), alors \(A=\mathbb{N}\).

Rédaction type

• Init. : vérifier \(\mathscr{P}_0\).

• Hérédité : soit \(n\) ; on suppose \(\mathscr{P}_k\) pour tout \(k\le n\) ; montrons \(\mathscr{P}_{n+1}\).

Exemple · hypothèse sur tous les rangs

\((v_n)\) réelle, \(v_0\ge 0\) et \(v_{n+1}\le\displaystyle\sum_{k=0}^n v_k\). Montrer \(\forall n,\ v_n\le 2^n v_0\).

Démonstration

Init. \(v_0\le 2^0 v_0\). ✓

Hérédité. Soit \(n\) ; supposons \(v_k\le 2^k v_0\) pour tout \(k\le n\).

\[ v_{n+1}\le\sum_{k=0}^n v_k \le \sum_{k=0}^n 2^k v_0 = \frac{2^{n+1}-1}{2-1}\,v_0 \le 2^{n+1} v_0 \qquad\blacksquare \]

Forte ≠ toujours suffisante

La récurrence forte n'est pas plus puissante qu'une double bien posée. Elle échoue si l'hérédité a besoin d'amorcer plusieurs rangs.

Pour \(u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n\), une hérédité forte « \(u_{n+1}=3u_n-2u_{n-1}\) » n'a pas de sens en \(n=0\) (pas de \(u_{-1}\)).

Solution : initialiser aux rangs \(0\) et \(1\), puis mener une hérédité forte. Là, ça marche.

Le raisonnement par l'absurde

Supposer le contraire…

Le principe

« Prêcher le faux pour savoir le vrai. » Une contradiction est une proposition « \(q\) et non \(q\) » : si on en tire une, l'hypothèse de départ était fausse.

Rédaction type — montrer p

« Faisons l'hypothèse que \(p\) est fausse.

⋮ (obtention d'une contradiction)

Contradiction ! Donc \(p\) est vraie. »

Exemple · √(n²+2) n'est pas entier

Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), le réel \(\sqrt{n^2+2}\) n'est pas entier.

Démonstration

Soit \(n\in\mathbb{N}\). Par l'absurde, supposons \(\sqrt{n^2+2}=p\) avec \(p\in\mathbb{N}\).

Alors \(p^2=n^2+2\), donc \((p-n)(p+n)=2\).

Comme \(p+n\ge p-n\ge 0\) sont entiers, le seul couple possible est \(p+n=2,\ p-n=1\).

Par somme : \(2p=3\), soit \(p=\dfrac32\notin\mathbb{N}\) — contradiction.

Donc \(\sqrt{n^2+2}\) n'est pas entier. \(\blacksquare\)

Exemple classique · √2 est irrationnel

Montrer que \(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\).

Démonstration

Par l'absurde, supposons \(\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\) avec la fraction irréductible.

Alors \(p^2=2q^2\), donc \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair : \(p=2p'\).

D'où \(4p'^2=2q^2\), soit \(q^2=2p'^2\) : \(q\) est pair aussi.

Mais alors \(p\) et \(q\) sont tous deux pairs : la fraction n'était pas irréductible — contradiction. \(\blacksquare\)

Quand l'utiliser ?

Utile pour prouver une négation : « ne pas être entier », « ne pas être rationnel », « ne pas exister »…

Ne pas confondre avec la contraposée :

\[ (p\Rightarrow q) \iff (\text{non } q \Rightarrow \text{non } p) \]

La contraposée démontre une implication directement ; l'absurde suppose la conclusion fausse pour aboutir à un non-sens.

Le raisonnement par analyse-synthèse

Analyse puis synthèse

Le principe en deux temps

• Analyse : soit \(x\) une solution. On la fait « parler » pour restreindre les possibilités : \(x=\dots\)

• Synthèse : on vérifie que ces candidats sont réellement solutions.

Analyse = on restreint le champ des solutions possibles (unicité). Synthèse = on confirme que les candidats marchent (existence).

La clé à retenir

Analyse = unicité · Synthèse = existence

L'analyse dénoue les têtes possibles de l'objet, sans garantir qu'elles conviennent.
La synthèse fait le tri : parmi les candidats, lesquels sont vraiment solutions ?

Vous en faites déjà sans le savoir : résoudre une équation par équivalence, c'est une analyse-synthèse condensée.

Exemple · résolution par équivalence

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(x^4-4x^2+3=0\).

Analyse ↔ synthèse par équivalence \[ x^4-4x^2+3=0 \iff (x^2)^2-4(x^2)+3=0 \iff x^2=1 \ \text{ou}\ x^2=3 \iff x\in\{-\sqrt3,\,-1,\,1,\,\sqrt3\} \]

La chaîne d'équivalences fait analyse (ces valeurs seulement) et synthèse (elles conviennent) en un seul mouvement.

Exemple · équation fonctionnelle

Trouver les \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) telles que \(\forall x,y,\ f(y-f(x))=2-x-y\).

Analyse

Soit \(f\) solution. Pour \(y=f(x)\) : \(f(0)=2-x-f(x)\), donc \(f(x)=\big(2-f(0)\big)-x\) : \(f\) est de la forme \(x\mapsto\lambda-x\) pour un certain \(\lambda\in\mathbb{R}\).

Synthèse

Soit \(\lambda\in\mathbb{R}\) ; posons \(f:x\mapsto\lambda-x\). Pour tous \(x,y\) :

\[ f(y-f(x))=f\big(y-(\lambda-x)\big)=f(x+y-\lambda) =\lambda-(x+y-\lambda)=2\lambda-x-y \]

On veut \(2-x-y\), donc \(2\lambda=2\), soit \(\lambda=1\).

Conclusion

L'unique solution est \(f:x\mapsto 1-x\).

Analyse-synthèse et existence

Souvenez-vous (§4) : prouver une existence, c'est souvent « Posons \(x=\dots\) ». Mais comment trouver le bon \(x\) ?

L'astuce

L'analyse est une machine à idées : sous couvert de prouver l'unicité, elle nous révèle la tête de l'objet. La synthèse transforme ce candidat en preuve d'existence.

Autrement dit : dans une analyse-synthèse, l'unicité est déjà une façon d'aborder l'existence.

Bien rédiger avec les fonctions

Domaines, flèches, verbes

La notation complète \[ \text{« On note } f \text{ la fonction } \begin{array}{rcl} \mathbb{R}_+ &\longrightarrow& \mathbb{R}\\ x &\longmapsto& \sqrt{x} \end{array}\text{. »} \]

Trois ingrédients : ensemble de départ, ensemble d'arrivée, et la flèche \(\longmapsto\) (avec un petit trait !).

Formulations équivalentes acceptées :

« On note \(f\) la fonction \(x\mapsto\sqrt{x}\) définie sur \(\mathbb{R}_+\). »
« On note \(f\) définie sur \(\mathbb{R}_+\) par : \(\forall x\in\mathbb{R}_+,\ f(x)=\sqrt{x}\). »
« On pose, pour tout \(x\in\mathbb{R}_+\) : \(f(x)=\sqrt{x}\). »

Formulations à proscrire

« On note \(f\) la fonction \(\sqrt{n}\) sur \(\mathbb{N}\). » (pas de flèche, quel objet ?)
« On note \(f\) la fonction \(n\mapsto\sqrt{n}\) sur \(\mathbb{N}\). » (problème de flèche : ambigu)
« On pose \(f(n)=\sqrt{n}\). » (on définit une valeur, pas la fonction)

Ne pas confondre « poser » et « noter » : grammaticalement, ils ne s'emploient pas de la même façon.

La flèche est obligatoire

Pour désigner une fonction, on écrit la flèche \(\longmapsto\) :

✓ « la fonction \(x\mapsto \sin(x^2)\) » ✕ « la fonction \(\sin(x^2)\) »

\(\sin(x^2)\) est un nombre (l'image de \(x\)), pas une fonction. La fonction, c'est le procédé \(x\mapsto\sin(x^2)\).

Une propriété porte sur un domaine

Une fonction est définie / monotone / continue / dérivable sur un domaine — pas « pour tout \(x\) ».

✕ « \(x\mapsto\mathrm{e}^{2x}+x+1\) est dérivable pour tout \(x\in\mathbb{R}\) »

✓ « \(x\mapsto\mathrm{e}^{2x}+x+1\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) »

La dérivabilité est une propriété globale (de la fonction sur un ensemble), pas une propriété point par point.

Chapitre 0 — Rédaction

Axiomes, définitions, théorèmes

Introduire une variable, donner un nom à un objet

Montrer une proposition universelle

Montrer l'existence d'un objet

Montrer l'unicité d'un objet

Disjonction, implication, équivalence

Inclusion ou égalité d'ensembles

Le raisonnement par récurrence

Le raisonnement par l'absurde

Le raisonnement par analyse-synthèse

Bien rédiger avec les fonctions