Chapitre 2 · Partie 2

Opérations sur les ensembles

Réunion, intersection, complémentaire : chaque opération ensembliste est la traduction exacte d'un connecteur logique. Comprendre ce dictionnaire, c'est démontrer toutes les identités de ce chapitre sans jamais rien apprendre par cœur.

Réunion et intersection

Dans toute la suite, \(A\), \(B\) et \(C\) désignent des parties d'un ensemble \(E\).

Définition \[ A\cup B=\{x\in E\mid x\in A\ \text{ ou }\ x\in B\}, \qquad A\cap B=\{x\in E\mid x\in A\ \text{ et }\ x\in B\}. \]

Le dictionnaire fondamental \[ x\in A\cup B\iff (x\in A)\lor(x\in B), \qquad x\in A\cap B\iff (x\in A)\land(x\in B). \]

Toutes les identités ensemblistes se démontrent en traduisant \(\cup\to\) « ou », \(\cap\to\) « et », \(\ ^c\to\) « non ».

Diagramme de Venn interactif

Clique sur une opération : la région correspondante s'allume.

Sélectionne une opération pour voir la région correspondante.

Exemple

Dans \(\mathbb{R}\), pour \(A=[-2,1]\) et \(B=\,]0,3]\) : \(A\cap B=\,]0,1]\) et \(A\cup B=[-2,3]\).

Ensembles disjoints

\(A\) et \(B\) sont disjoints lorsque \(A\cap B=\varnothing\). Par exemple \(2\mathbb{Z}=\{2k\mid k\in\mathbb{Z}\}\) et \(2\mathbb{Z}+1=\{2k+1\mid k\in\mathbb{Z}\}\) sont disjoints.

1.1 — Propriétés

Intersection	Réunion
\(A\cap B=B\cap A\)	\(A\cup B=B\cup A\)
\(A\cap A=A\)	\(A\cup A=A\)
\(A\cap\varnothing=\varnothing\)	\(A\cup\varnothing=A\)
\(A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C\)	\(A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C\)
\(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)	\(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\)
\(A\subseteq B\iff A\cap B=A\)	\(A\subseteq B\iff A\cup B=B\)

Distributivité · démonstration type

Toutes ces propriétés se démontrent en traduisant en logique. Montrons \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\).

1.2 — Cardinaux

Proposition

Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles finis.

\[ A\cap B=\varnothing \Longrightarrow \mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B), \] \[ \text{et dans le cas général :}\quad \mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)-\mathrm{Card}(A\cap B). \]

Extension à trois ensembles \[ \begin{aligned} \mathrm{Card}(A\cup B\cup C)={}&\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)+\mathrm{Card}(C)\\ &-\mathrm{Card}(A\cap B)-\mathrm{Card}(A\cap C)-\mathrm{Card}(B\cap C)\\ &+\mathrm{Card}(A\cap B\cap C). \end{aligned} \]

Différence, complémentaire, différence symétrique

2.1 — Différence

Définition \[ A\setminus B=\{x\in A\mid x\notin B\}. \]

Exemple : pour \(A=[-2,1]\) et \(B=\,]0,3]\), on a \(A\setminus B=[-2,0]\) et \(B\setminus A=\,]1,3]\). En particulier \(A\setminus B\neq B\setminus A\) en général.

2.2 — Complémentaire

Définition

Soit \(A\subseteq E\). L'ensemble \(E\setminus A\) est le complémentaire de \(A\) dans \(E\), noté \(C_E^A\), ou \(\overline{A}\), ou \(A^c\) :

\[ C_E^A=\{x\in E\mid x\notin A\}, \qquad x\in A^c\iff x\notin A. \]

Exemple : dans \(E=\mathbb{R}\), si \(A=[0,1]\) alors \(A^c=\,]-\infty,0[\,\cup\,]1,+\infty[\).

Propriétés

\(C_E^{\varnothing}=E\), \(\quad C_E^{E}=\varnothing\), \(\quad (A^c)^c=A\) ;
\(B=C_E^A\iff A=C_E^B\) ;
\(A\subseteq B\iff C_E^B\subseteq C_E^A\) (le complémentaire renverse les inclusions).

Théorème · Lois de De Morgan \[ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c \qquad\text{et}\qquad (A\cap B)^c=A^c\cup B^c. \]

Simplifications classiques \[ (A\cap B)\cup(A\cap B^c)=A\cap(B\cup B^c)=A\cap E=A, \] \[ (A\cup B)\cap(A\cup B^c)=A\cup(B\cap B^c)=A\cup\varnothing=A. \]

2.3 — Différence symétrique

Définition

La différence symétrique de \(A\) et \(B\) est l'ensemble des éléments appartenant à l'un des deux ensembles, mais pas aux deux :

\[ A\,\triangle\,B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A). \]

Exemple : \(A=\{1,2,3,4\}\) et \(B=\{3,4,5,6\}\) donnent \(A\,\triangle\,B=\{1,2,5,6\}\).

Propriétés

\(A\,\triangle\,B=B\,\triangle\,A\) (commutativité) ;
\((A\,\triangle\,B)\,\triangle\,C=A\,\triangle\,(B\,\triangle\,C)\) (associativité) ;
\(A\,\triangle\,\varnothing=A\) et \(A\,\triangle\,A=\varnothing\) ;
\(A\,\triangle\,B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)\).

Réunion et intersection d'une famille

Définition

Soit \((A_i)_{i\in I}\) une famille de parties de \(E\).

\[ \bigcup_{i\in I}A_i=\{x\in E\mid \exists i\in I,\ x\in A_i\}, \qquad \bigcap_{i\in I}A_i=\{x\in E\mid \forall i\in I,\ x\in A_i\}. \]

Association fondamentale \[ \bigcup\ \longleftrightarrow\ \exists \qquad\qquad \bigcap\ \longleftrightarrow\ \forall \]

C'est le réflexe : dès qu'on veut montrer \(x\in\bigcup A_i\), on cherche un indice ; pour \(x\in\bigcap A_i\), on traite tous les indices.

Attention · famille vide

Si \(I=\varnothing\), on adopte par convention \(\bigcup_{i\in\varnothing}A_i=\varnothing\) et \(\bigcap_{i\in\varnothing}A_i=E\). Sauf mention contraire, on supposera toujours \(I\neq\varnothing\).

Animation · \(A_n=\left]-\tfrac1n,\ 1+\tfrac1n\right[\)

Déplace le curseur : l'intervalle \(A_n\) se resserre. Que reste-t-il à la limite ?

Pour \(n\geq 1\), \(A_n=[-n,n]\) : la suite est croissante pour l'inclusion.

\[ \bigcup_{n\geq1}A_n=\mathbb{R},\qquad \bigcap_{n\geq1}A_n=[-1,1]. \]

Tout réel \(x\) vérifie \(x\in A_n\) dès que \(n\geq |x|\) : d'où la réunion égale à \(\mathbb{R}\) (propriété d'Archimède).

De Morgan généralisées \[ \left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)^c=\bigcap_{i\in I}A_i^{\,c} \qquad\text{et}\qquad \left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)^c=\bigcup_{i\in I}A_i^{\,c}. \]

Distributivité généralisée \[ B\cap\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)=\bigcup_{i\in I}(B\cap A_i) \qquad\text{et}\qquad B\cup\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)=\bigcap_{i\in I}(B\cup A_i). \]

Recouvrements et partitions

Définition · Recouvrement

Une famille \((A_i)_{i\in I}\) de parties de \(E\) est un recouvrement de \(E\) si \(E=\bigcup_{i\in I}A_i\) : tout élément de \(E\) appartient à au moins une partie \(A_i\).

Définition · Partition

Une famille \((A_i)_{i\in I}\) de parties non vides de \(E\) est une partition de \(E\) lorsque :

▸ c'est un recouvrement : \(E=\bigcup_{i\in I}A_i\) ;

▸ les parties sont deux à deux disjointes : \(\forall i\neq j,\ A_i\cap A_j=\varnothing\).

Autrement dit : chaque élément de \(E\) appartient à une et une seule partie.

Animation · Recouvrement ou partition ?

Recouvrement : les \(A_i\) couvrent \(E\), mais peuvent se chevaucher.

Exemples

▸ Si \(A\subseteq E\) avec \(A\neq\varnothing\) et \(A^c\neq\varnothing\), alors \(\{A,A^c\}\) est une partition de \(E\).

▸ Posons, pour \(r\in\{0,1,2\}\), \(A_r=\{n\in\mathbb{Z}\mid n\equiv r\ [3]\}\). Tout entier possède exactement un reste parmi \(0,1,2\) dans la division euclidienne par \(3\), donc \(\mathbb{Z}=A_0\cup A_1\cup A_2\) avec des \(A_r\) deux à deux disjoints : \((A_0,A_1,A_2)\) est une partition de \(\mathbb{Z}\).

Proposition · Cardinal

Si \((A_i)_{1\leq i\leq n}\) est une famille finie de parties deux à deux disjointes :

\[ \mathrm{Card}\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Card}(A_i). \]

Fonctions indicatrices

Définition

Soit \(A\subseteq E\). La fonction indicatrice (ou caractéristique) de \(A\) est \(\mathbf{1}_A : E\to\{0,1\}\) définie par

\[ \forall x\in E,\qquad \mathbf{1}_A(x)=\begin{cases}1 & \text{si } x\in A,\\[.2em] 0 & \text{si } x\notin A.\end{cases} \]

Proposition

Pour \(A,B\in\mathcal{P}(E)\) :

\[ A=B\iff \mathbf{1}_A=\mathbf{1}_B, \qquad A\subseteq B\iff \mathbf{1}_A\leq\mathbf{1}_B. \]

C'est ce qui permet de calculer avec les ensembles au lieu de raisonner élément par élément.

Théorème · Opérations \[ \begin{aligned} \mathbf{1}_{A^c}&=1-\mathbf{1}_A,\\[.25em] \mathbf{1}_{A\cap B}&=\mathbf{1}_A\,\mathbf{1}_B,\\[.25em] \mathbf{1}_{A\setminus B}&=\mathbf{1}_A(1-\mathbf{1}_B),\\[.25em] \mathbf{1}_{A\cup B}&=\mathbf{1}_A+\mathbf{1}_B-\mathbf{1}_A\,\mathbf{1}_B,\\[.25em] \mathbf{1}_{A\triangle B}&=|\mathbf{1}_A-\mathbf{1}_B| =\mathbf{1}_A+\mathbf{1}_B-2\,\mathbf{1}_A\,\mathbf{1}_B. \end{aligned} \]

On retiendra aussi \(\mathbf{1}_A^{\,2}=\mathbf{1}_A\) (car \(0^2=0\) et \(1^2=1\)), très utile dans les calculs.

Calculateur animé · indicatrices

Place l'élément \(x\) : les valeurs des indicatrices se recalculent en direct.

Application · preuve par le calcul

Montrons \((A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(A\cup B)\setminus(A\cap B)\).

Comme \((A\setminus B)\cap(B\setminus A)=\varnothing\) :

\[ \mathbf{1}_{(A\setminus B)\cup(B\setminus A)} =\mathbf{1}_A(1-\mathbf{1}_B)+\mathbf{1}_B(1-\mathbf{1}_A) =\mathbf{1}_A+\mathbf{1}_B-2\,\mathbf{1}_A\mathbf{1}_B. \]

D'autre part, en utilisant \(\mathbf{1}_A^{\,2}=\mathbf{1}_A\) et \(\mathbf{1}_B^{\,2}=\mathbf{1}_B\) :

\[ \mathbf{1}_{(A\cup B)\setminus(A\cap B)} =(\mathbf{1}_A+\mathbf{1}_B-\mathbf{1}_A\mathbf{1}_B)(1-\mathbf{1}_A\mathbf{1}_B) =\mathbf{1}_A+\mathbf{1}_B-2\,\mathbf{1}_A\mathbf{1}_B. \]

Les deux indicatrices coïncident, donc les deux ensembles sont égaux.

Produit cartésien

Définition · Couple

L'élément noté \((x,y)\) est appelé le couple \((x,y)\). Par définition :

\[ (x,y)=(x',y')\iff\big(x=x'\ \text{ et }\ y=y'\big). \]

Définition · Produit cartésien \[ E\times F=\{(x,y)\mid x\in E\ \text{ et }\ y\in F\}, \qquad (x,y)\in E\times F\iff x\in E\ \text{ et }\ y\in F. \]

Si \(E=F\), on note \(E\times E=E^2\).

Attention · couple ≠ paire

Soit \((a,b)\in E^2\) avec \(a\neq b\). Alors \((a,b)\neq(b,a)\) : dans un couple, l'ordre compte. En revanche \(\{a,b\}=\{b,a\}\) : dans un ensemble, non.

Animation · \(\mathrm{Card}(E\times F)=\mathrm{Card}(E)\cdot\mathrm{Card}(F)\)

Choisis les cardinaux : chaque couple apparaît un à un.

Card(E) :

Card(F) :

Produit de \(n\) ensembles \[ E_1\times\cdots\times E_n =\Big\{(x_1,\dots,x_n)\ \Big|\ x_i\in E_i,\ i\in[\![1,n]\!]\Big\} =\prod_{i=1}^{n}E_i, \] \[ (x_1,\dots,x_n)=(y_1,\dots,y_n)\iff \forall i\in[\![1,n]\!],\ x_i=y_i. \]

Un tel élément s'appelle un \(n\)-uplet : couple (\(n=2\)), triplet (\(n=3\)), quadruplet (\(n=4\)). Si tous les \(E_i\) sont égaux à \(E\), on note \(E^n\).

Propriétés

\(E\times\varnothing=\varnothing\) et \(E\times F=\varnothing\iff(E=\varnothing\ \text{ou}\ F=\varnothing)\) ;
\(A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)\) ;
\(A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)\) ;
si \(E\) et \(F\) sont finis : \(\mathrm{Card}(E\times F)=\mathrm{Card}(E)\cdot\mathrm{Card}(F)\).

Exemples géométriques

▸ \(A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x+y=0\}\) est la droite d'équation \(y=-x\).

▸ \(B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid |x|<1,\ |y-1|\leq1\}\) est le rectangle \(-1

▸ \([0,1]\times\mathbb{R}\) est une bande verticale ; \([0,1]^3\) est un cube.

Applications

Exercice 1

Énoncé

1.Soient \(A,B,C\) trois parties de \(E\). Montrer que \(\big(A\cup B=A\cup C\ \text{ et }\ A\cap B=A\cap C\big)\Longrightarrow B=C\).

2.L'égalité \(A\cup B=A\cup C\) seule permet-elle de conclure que \(B=C\) ?

Exercice 2

Énoncé

Soient \(A,B,C\) trois parties de \(E\). Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :

\[ (i)\ A\setminus B\subseteq C,\qquad (ii)\ A\setminus C\subseteq B,\qquad (iii)\ A\subseteq B\cup C. \]

Exercice 3

Énoncé

Soient \(A,B\subseteq E\). Déterminer toutes les parties \(X\subseteq E\) vérifiant simultanément \(X\cap A=B\) et \(X\cup A=E\). Préciser d'abord une condition nécessaire sur \(A\) et \(B\).

Résumé

\(\cup\leftrightarrow\) « ou », \(\cap\leftrightarrow\) « et », \(^c\leftrightarrow\) « non » : toute identité ensembliste est une identité logique.
De Morgan : \((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\) et \((A\cap B)^c=A^c\cup B^c\).
\(\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)-\mathrm{Card}(A\cap B)\).
\(\bigcup\leftrightarrow\exists\) et \(\bigcap\leftrightarrow\forall\).
Partition = recouvrement + parties non vides deux à deux disjointes.
Les indicatrices transforment les preuves ensemblistes en calculs, avec \(\mathbf{1}_A^{\,2}=\mathbf{1}_A\).
\(\mathrm{Card}(E\times F)=\mathrm{Card}(E)\cdot\mathrm{Card}(F)\) ; dans un couple, l'ordre compte.
Technique reine : décomposer \(X=(X\cap A)\cup(X\cap A^c)\).

« Un dessin de Venn pour comprendre, une chaîne d'équivalences pour rédiger. »