Sommes et produits : notations et premières formules

Définition

Soit \((a_k)_{p\leq k\leq n}\) une famille de nombres. On note

\[ S_{p,n}=\sum_{k=p}^{n}a_k \qquad\text{et}\qquad P_{p,n}=\prod_{k=p}^{n}a_k. \]

Ces objets sont définis par récurrence :

\[ S_{p,p}=P_{p,p}=a_p,\quad S_{p,n}=S_{p,n-1}+a_n,\quad P_{p,n}=P_{p,n-1}\,a_n. \]

Formules usuelles \[ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2,\qquad \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,\qquad \sum_{k=1}^{n}k^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2. \]

Pour \(x\in\mathbb{R}\) :

\[ \sum_{k=0}^{n}x^k= \begin{cases} n+1,&x=1,\\[1mm] \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x},&x\neq1. \end{cases} \]

En particulier, si \(a\neq b\) :

\[ b^{n+1}-a^{n+1}=(b-a)\sum_{k=0}^{n}b^{n-k}a^k. \]

Attention aux pièges

Soit \(c\in\mathbb{R}\) une constante indépendante de l'indice \(k\). Pour \(p\leq n\) :

Somme d'une constante : \(\displaystyle\sum_{k=p}^{n}c=(n-p+1)c\) — ce n'est pas \(nc\), le nombre de termes est \(n-p+1\), pas \(n\).
Produit d'une constante : \(\displaystyle\prod_{k=p}^{n}c=c^{\,n-p+1}\)
Mise en évidence (somme) : \(\displaystyle\sum_{k=p}^{n}(c\cdot a_k)=c\sum_{k=p}^{n}a_k\)
Mise en évidence (produit) : \(\displaystyle\prod_{k=p}^{n}(c\cdot a_k)=c^{\,n-p+1}\prod_{k=p}^{n}a_k\)

Exemple

Calculons \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(3k^2-2k+4)\). Par linéarité,

\[ \sum_{k=1}^{n}(3k^2-2k+4) =3\sum_{k=1}^{n}k^2-2\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}4 =3\frac{n(n+1)(2n+1)}6-2\frac{n(n+1)}2+4n. \]

Résultat \[ \sum_{k=1}^{n}(3k^2-2k+4)=\frac{n(2n^2+n+5)}2. \]

Sommes et produits télescopiques

Propriété

Si \(a_k=b_{k+1}-b_k\), alors

\[ \sum_{k=p}^{n}a_k=b_{n+1}-b_p. \]

Si \(b_k\neq0\) et \(a_k=\dfrac{b_{k+1}}{b_k}\), alors

\[ \prod_{k=p}^{n}a_k=\frac{b_{n+1}}{b_p}. \]

Exemple — somme télescopique

Pour \(n\geq1\), calculons \(\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{(k+1)(k+2)}\).

On décompose en éléments simples :

\[ \frac1{(k+1)(k+2)}=\frac1{k+1}-\frac1{k+2}. \]

Résultat \[ T_n=\frac12-\frac1{n+2}=\frac{n}{2(n+2)}. \]

Exemple — produit télescopique

Pour \(n\geq1\), calculons \(\displaystyle Q_n=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac1{k}\right)\).

Comme \(1+\dfrac1k=\dfrac{k+1}{k}\), on obtient

Résultat \[ Q_n=\prod_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k}=n+1. \]

Familles indexées, propriétés et changement d'indice

3.1 — Somme et produit sur un ensemble fini d'indices

Soit \((a_i)_{i\in I}\) une famille finie indexée par \(I=\{i_1,\ldots,i_r\}\). On pose

\[ \sum_{i\in I}a_i=\sum_{k=1}^{r}a_{i_k}, \qquad \prod_{i\in I}a_i=\prod_{k=1}^{r}a_{i_k}. \]

Par convention,

\[ \sum_{i\in\varnothing}a_i=0, \qquad \prod_{i\in\varnothing}a_i=1. \]

Exemple

Soit \(I=\{d\in\mathbb{N}^*:d\mid18\}\). Alors

\[ I=\{1,2,3,6,9,18\} \quad\text{et}\quad \sum_{d\mid18}d=1+2+3+6+9+18=39. \]

3.2 — Opérations et changement d'indice

Propriété — linéarité et distributivité

Pour toutes familles \((a_i)_{i\in I}\), \((b_i)_{i\in I}\) et tous \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\), la somme est un opérateur linéaire :

\[ \sum_{i\in I}(\alpha a_i+\beta b_i)=\alpha\sum_{i\in I}a_i+\beta\sum_{i\in I}b_i. \]

Le symbole produit se distribue sur la multiplication et la division (si \(b_i\neq0\)) :

\[ \prod_{i\in I}(a_ib_i)=\left(\prod_{i\in I}a_i\right)\left(\prod_{i\in I}b_i\right), \qquad \prod_{i\in I}\left(\frac{a_i}{b_i}\right)=\frac{\displaystyle\prod_{i\in I}a_i}{\displaystyle\prod_{i\in I}b_i}. \]

Propriété — changement d'indice

Si \(f:J\to I\) est une bijection, alors

\[ \sum_{i\in I}a_i=\sum_{j\in J}a_{f(j)}, \qquad \prod_{i\in I}a_i=\prod_{j\in J}a_{f(j)}. \]

En particulier,

\[ \sum_{k=p}^{n}a_k=\sum_{j=0}^{n-p}a_{j+p} \quad\text{et}\quad \sum_{k=0}^{n}a_k=\sum_{j=0}^{n}a_{n-j}. \]

Exemple

Calculons \(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}k3^k\). En décalant l'indice,

\[ 3S_n=\sum_{k=1}^{n}k3^{k+1}=\sum_{j=2}^{n+1}(j-1)3^j. \]

En soustrayant \(S_n=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}j3^j\), on trouve

\[ 2S_n=n3^{n+1}-\sum_{j=1}^{n}3^j=n3^{n+1}-\frac{3^{n+1}-3}{2}. \]

Résultat \[ S_n=\frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{4}. \]

3.3 — Sommation par paquets

Propriété

Si \(I=I_1\sqcup I_2\) est une réunion disjointe, alors

\[ \sum_{i\in I}a_i=\sum_{i\in I_1}a_i+\sum_{i\in I_2}a_i. \]

Plus généralement, si \((I_r)_{1\leq r\leq N}\) est une partition de \(I\),

\[ \sum_{i\in I}a_i=\sum_{r=1}^{N}\left(\sum_{i\in I_r}a_i\right). \]

Exemple

Séparons les indices pairs et impairs dans \(\displaystyle A_n=\sum_{i=0}^{2n}(-1)^i(i+1)\). Alors

\[ A_n=\sum_{k=0}^{n}(2k+1)-\sum_{k=0}^{n-1}(2k+2)=(n+1)^2-n(n+1). \]

Résultat \[ A_n=n+1. \]

Traduction algorithmique

Une somme \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_k\) se calcule par accumulation :

s = 0
for k in range(1, n + 1):
    s = s + u(k)

Formule du binôme de Newton

4.1 — Coefficients binomiaux

Pour \(n,k\in\mathbb{N}\), on définit

\[ \binom nk= \begin{cases} \dfrac{n!}{k!(n-k)!},&0\leq k\leq n,\\[2mm] 0,&k>n. \end{cases} \]

On a notamment \(\displaystyle\binom n0=1\), \(\displaystyle\binom n1=n\), \(\displaystyle\binom n2=\frac{n(n-1)}2\).

Propriété

Pour \(0\leq k\leq n\),

\[ \binom n{n-k}=\binom nk, \qquad k\binom nk=n\binom{n-1}{k-1}. \]

Pour \(1\leq k\leq n\) (relation de Pascal) :

\[ \binom nk=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}. \]

En particulier, \(\displaystyle\binom nk\in\mathbb{N}\).

4.2 — Le théorème

Théorème — formule du binôme de Newton

Pour tous \(a,b\in\mathbb{R}\) et tout \(n\in\mathbb{N}\),

\[ \boxed{(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^k b^{n-k}.} \]

Démonstration — récurrence sur \(n\)

Pour \(n=0\), la formule est immédiate. Supposons-la vraie à un rang \(n\). Alors

\[ (a+b)^{n+1}=a\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^kb^{n-k}+b\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^kb^{n-k} =\sum_{k=1}^{n+1}\binom n{k-1}a^kb^{n+1-k}+\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^kb^{n+1-k}. \]

En isolant les termes extrêmes puis en regroupant grâce à la relation de Pascal :

\[ (a+b)^{n+1}=a^{n+1}+b^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\left(\binom n{k-1}+\binom nk\right)a^kb^{n+1-k} =\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}a^kb^{n+1-k}. \]

La propriété est donc vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}\). \(\blacksquare\)

Exemple

Développons \((2x-3)^4\) :

\[ (2x-3)^4=\sum_{k=0}^{4}\binom4k(2x)^k(-3)^{4-k}. \]

Résultat \[ (2x-3)^4=16x^4-96x^3+216x^2-216x+81. \]

Exemple — cas particuliers utiles

En prenant \(a=1\) et \(b=2\) :

\[ 3^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk2^{n-k}. \]

En prenant \(a=1\) et \(b=-1\), pour \(n\geq1\) :

\[ 0=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom nk. \]

Sommes doubles

On considère une famille double \((a_{i,j})_{(i,j)\in I}\), où \(I\) est une partie finie de \(\mathbb{N}^2\).

Définition — symbole de Kronecker

Pour tous entiers \(i\) et \(j\), on définit

\[ \delta_{i,j}=\begin{cases}1&\text{si } i=j,\\0&\text{si } i\neq j.\end{cases} \]

Ce symbole agit comme un « filtre » dans une somme double : par exemple \(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_j\delta_{i,j}=a_i\) pour \(1\leq i\leq n\).

5.1 — Domaine rectangulaire

Si \(I=\{0,\ldots,n\}\times\{0,\ldots,m\}\), alors

\[ \sum_{(i,j)\in I}a_{i,j}=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}a_{i,j}=\sum_{j=0}^{m}\sum_{i=0}^{n}a_{i,j}. \]

Exemple

Calculons \(\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}(2i-j)\).

\[ \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}(2i-j)=2(m+1)\sum_{i=0}^{n}i-(n+1)\sum_{j=0}^{m}j. \]

Résultat \[ \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}(2i-j)=(n+1)(m+1)\left(n-\frac m2\right). \]

Propriété — produit de deux sommes

Si \(a_{i,j}=\alpha_i\beta_j\), alors

\[ \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}a_{i,j}=\left(\sum_{i=0}^{n}\alpha_i\right)\left(\sum_{j=0}^{m}\beta_j\right). \]

En particulier,

\[ \left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix_j =\sum_{i=1}^{n}x_i^2+2\sum_{1\leq i< j\leq n}x_ix_j. \]

5.2 — Domaine triangulaire

Pour \(I=\{(i,j)\in\{0,\ldots,n\}^2:i\leq j\}\),

\[ \boxed{ \sum_{0\leq i\leq j\leq n}a_{i,j}=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=i}^{n}a_{i,j}=\sum_{j=0}^{n}\sum_{i=0}^{j}a_{i,j}. } \]

Exemple

Calculons \(\displaystyle B_n=\sum_{0\leq i\leq j\leq n}(j-i)\). En sommant d'abord en \(i\) :

\[ B_n=\sum_{j=0}^{n}\sum_{i=0}^{j}(j-i)=\sum_{j=0}^{n}\left((j+1)j-\frac{j(j+1)}2\right)=\frac12\sum_{j=0}^{n}(j^2+j). \]

Résultat \[ B_n=\frac{n(n+1)(n+2)}6. \]

Remarque — carré, diagonale, symétrie

Sur \(\{1,\ldots,n\}^2\), on peut séparer la diagonale et les deux triangles :

\[ \sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}=\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}+\sum_{1\leq i< j\leq n}a_{i,j}+\sum_{1\leq j< i\leq n}a_{i,j}. \]

Si \(a_{i,j}=a_{j,i}\), alors \(\displaystyle\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}=\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}+2\sum_{1\leq i< j\leq n}a_{i,j}\).
Si \(a_{i,j}=-a_{j,i}\), la somme sur le carré est nulle.

5.3 — Sommes sous la contrainte \(i+j\leq n\)

Pour \(I=\{(i,j)\in\mathbb{N}^2:i+j\leq n\}\),

\[ \boxed{ \sum_{i+j\leq n}a_{i,j}=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i}a_{i,j}=\sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{k}a_{i,k-i}. } \]

Exemple

Calculons \(\displaystyle C_n=\sum_{i+j\leq n}(i+j+1)\). Posons \(k=i+j\) : pour \(k\) fixé, il existe \(k+1\) couples \((i,j)\in\mathbb{N}^2\) tels que \(i+j=k\). Ainsi

\[ C_n=\sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{k}(k+1)=\sum_{k=0}^{n}(k+1)^2. \]

Résultat \[ C_n=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}6. \]

Applications

Exercice 1 — vrai ou faux ?

Énoncé

1.a.\(\displaystyle\sum_{k=0}^{100}5=\sum_{k=1}^{100}5\)

2.b.\(\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{10}i\right)^2=\sum_{i=1}^{10}i^2\)

3.c.\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i)^2=\sum_{i=1}^{n}a_i^2+\sum_{i=1}^{n}b_i^2\)

4.d.\(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_i=\sum_{k=1}^{5}x_k\)

5.e.\(\displaystyle\sum_{i=0}^{n}(2a_i^2+a_i)=2\sum_{i=0}^{n}a_i^2+\sum_{i=0}^{n}a_i\)

6.f.\(\displaystyle\sum_{k=1}^{21}b_{2k+1}=\sum_{k=1}^{21}(b_{2k}+1)\)

7.g.\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=0}^{n-1}x_{i+1}=\sum_{j=0}^{n-1}x_{j+1}\)

Exercice 2 — interversion de sommes

Énoncé

Ces deux manipulations, extraites de démonstrations d'algèbre linéaire, sont-elles valables ?

1. \[ \sum_{i=1}^{m}\alpha_i\left(\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}x_j\right)=\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{m}\alpha_i\beta_{ij}\right)x_j \]

2. \[ \sum_{k=1}^{n}p_{kj}\sum_{t=1}^{n}a_{tk}\sum_{l=1}^{n}q_{lt}y_l =\sum_{k=1}^{n}\sum_{t=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}p_{kj}a_{tk}q_{lt}y_l \] \[ \sum_{k=1}^{n}\sum_{t=1}^{n}p_{kj}a_{tk}q_{lt} =\sum_{t=1}^{n}q_{lt}\sum_{k=1}^{n}a_{tk}p_{kj} \]

Exercice 3

Énoncé

En utilisant, pour \(x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\) et \(n\in\mathbb{N}\), la formule

\[ \sum_{i=0}^{n}x^i=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}, \]

1.a.Calculer la somme des \(100\) premières puissances de \(5\), c'est-à-dire \(\displaystyle\sum_{i=1}^{100}5^i\).

2.b.Calculer la somme des \(100\) premières puissances paires de \(5\), c'est-à-dire \(\displaystyle\sum_{k=1}^{100}5^{2k}\).

Calcul algébrique : sommes, produits, binôme, sommes doubles

Sommes et produits : notations et premières formules

Sommes et produits télescopiques

Familles indexées, propriétés et changement d'indice

Formule du binôme de Newton

Sommes doubles

Applications