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Les nombres complexes — Partie 1

De la forme algébrique \(z=x+\mathrm{i}y\) au plan complexe, au module et à l'argument : les outils de base pour manipuler \(\mathbb{C}\), avec en fil rouge le cercle trigonométrique et les formules d'Euler et de Moivre.

Généralités sur les nombres complexes

Forme algébrique

Définition

On note \(\mathbb{C}\) l'ensemble des nombres complexes. Tout nombre complexe s'écrit de manière unique sous la forme

\[ z=x+\mathrm{i}y, \]

où \(x\in\mathbb{R}\), \(y\in\mathbb{R}\) et \(\mathrm{i}^2=-1\).

Le réel \(x\) est la partie réelle de \(z\) et le réel \(y\) est la partie imaginaire de \(z\). On note

\[ \operatorname{Re}(z)=x \qquad\text{et}\qquad \operatorname{Im}(z)=y. \]

Propriété — égalité de deux complexes

Soient \(z=x+\mathrm{i}y\) et \(z'=x'+\mathrm{i}y'\) deux nombres complexes. Alors

\[ z=z' \iff \begin{cases}x=x',\\ y=y'.\end{cases} \]

Remarque

Pour tout \(z\in\mathbb{C}\) :

\(z\in\mathbb{R} \iff \operatorname{Im}(z)=0\) ;
\(z\in \mathrm{i}\mathbb{R} \iff \operatorname{Re}(z)=0\) ;
\(z=0 \iff \operatorname{Re}(z)=0\) et \(\operatorname{Im}(z)=0\).

Exemple

Soit \(z=(2+\mathrm{i})(1-3\mathrm{i})\). Alors

\[ z=2-6\mathrm{i}+\mathrm{i}-3\mathrm{i}^2=5-5\mathrm{i}. \]

Ainsi \(\operatorname{Re}(z)=5\) et \(\operatorname{Im}(z)=-5\).

Opérations dans \(\mathbb{C}\)

Soient \(z=x+\mathrm{i}y\) et \(z'=x'+\mathrm{i}y'\). On a

\[ z+z'=(x+x')+\mathrm{i}(y+y'), \qquad zz'=(xx'-yy')+\mathrm{i}(xy'+x'y). \]

Si \(z\neq 0\), alors son inverse vaut

\[ \frac1z=\frac{x-\mathrm{i}y}{x^2+y^2}. \]

Par conséquent, si \(z'\neq0\), on rationalise un quotient en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Exemple — quotient

Soit \(z=\dfrac{2+3\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\). On obtient

\[ z=\frac{(2+3\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})} =\frac{-1+5\mathrm{i}}{2}=-\frac12+\frac52\mathrm{i}. \]

Exercice — calcul algébrique

Énoncé

Mettre sous forme algébrique :

\[ \frac{3+2\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}, \qquad \frac{1}{2-3\mathrm{i}}, \qquad (1+\mathrm{i})^5. \]

Identités algébriques dans \(\mathbb{C}\)

Toutes les identités algébriques valables dans \(\mathbb{R}\) restent valables dans \(\mathbb{C}\).

Propriété — somme géométrique

Soient \(z\in\mathbb{C}\) et \(n\in\mathbb{N}\). Si \(z\neq1\), alors

\[ 1+z+\cdots+z^n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}. \]

Propriété — différence de puissances

Soient \(a,b\in\mathbb{C}\) et \(n\in\mathbb{N}^*\). Alors

\[ a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{\,n-1-k}b^k. \]

Démonstration

Développons le membre de droite :

\[ (a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k =\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k}b^k-\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k+1}. \]

En écrivant les deux sommes terme à terme, tous les termes intermédiaires se simplifient :

\[ (a^n+a^{n-1}b+\cdots+ab^{n-1})-(a^{n-1}b+\cdots+ab^{n-1}+b^n)=a^n-b^n. \]

On obtient donc

\[ \boxed{a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k.} \]

Propriété — formule du binôme

Soient \(a,b\in\mathbb{C}\) et \(n\in\mathbb{N}\). Alors

\[ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k. \]

Démonstration

On raisonne par récurrence sur \(n\).

Pour \(n=0\),

\[ (a+b)^0=1=\binom{0}{0}a^0b^0. \]

La formule est donc vraie au rang \(0\).

Supposons-la vraie pour un certain \(n\in\mathbb{N}\). Alors

\[ (a+b)^{n+1}=(a+b)\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n+1-k}b^k+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}. \]

Dans la seconde somme, posons \(j=k+1\). On obtient

\[ (a+b)^{n+1}=a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\left(\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right)a^{n+1-k}b^k+b^{n+1}. \]

Grâce à la relation de Pascal

\[ \binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}, \]

il vient

\[ (a+b)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^k. \]

La propriété est donc vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

Exercice

Énoncé

Développer \((1+\mathrm{i})^8\) de deux manières différentes :

1.en utilisant la formule du binôme ;

2.en déterminant d'abord une forme trigonométrique de \(1+\mathrm{i}\).

Conjugaison

Définition

Soit \(z=x+\mathrm{i}y\in\mathbb{C}\). Le conjugué de \(z\) est le nombre complexe \(\overline{z}=x-\mathrm{i}y\).

Propriétés de la conjugaison

Soient \(z,z'\in\mathbb{C}\) et \(n\in\mathbb{N}\). Alors :

\(\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}\) ;
\(\overline{zz'}=\overline{z}\,\overline{z'}\) ;
\(\overline{\overline{z}}=z\) ;
\(\overline{z^n}=(\overline{z})^n\) ;
si \(z'\neq0\), alors \(\displaystyle \overline{\left(\frac z{z'}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z'}}\) ;
\(\displaystyle \operatorname{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}\) ;
\(\displaystyle \operatorname{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2\mathrm{i}}\) ;
\(z\in\mathbb{R}\iff z=\overline{z}\) ;
\(z\in\mathrm{i}\mathbb{R}\iff z=-\overline{z}\).

Démonstration

Soit \(z=x+\mathrm{i}y\). Les relations vi)–ix) découlent directement de \(z+\overline{z}=2x\) et \(z-\overline{z}=2\mathrm{i}y\). Les autres relations s'obtiennent par calcul algébrique.

Exemple

Déterminons les nombres complexes \(z\) tels que

\[ z+\overline{z}=4 \qquad\text{et}\qquad z-\overline{z}=6\mathrm{i}. \]

Comme \(z+\overline{z}=2\operatorname{Re}(z)\) et \(z-\overline{z}=2\mathrm{i}\operatorname{Im}(z)\), on obtient \(\operatorname{Re}(z)=2\) et \(\operatorname{Im}(z)=3\). Ainsi \(z=2+3\mathrm{i}\).

Exercice — conjugaison

Énoncé

Pour \(z\in\mathbb{C}\), exprimer en fonction de \(z\) et \(\overline{z}\) :

\[ \operatorname{Re}(z),\qquad \operatorname{Im}(z),\qquad |z|^2. \]

Puis caractériser les nombres complexes \(z\) tels que \(z+\overline{z}=0\).

Le plan complexe

Affixe d'un point et d'un vecteur

On munit le plan d'un repère orthonormé direct \(\mathcal R=(O,\vec u,\vec v)\).

Définition

À tout point \(M\) de coordonnées \((x,y)\), on associe le nombre complexe \(z=x+\mathrm{i}y\), appelé affixe de \(M\).

Réciproquement, tout nombre complexe \(z=x+\mathrm{i}y\) est l'affixe d'un unique point \(M(x,y)\) du plan complexe.

Si \(A\) et \(B\) ont pour affixes respectives \(a\) et \(b\), alors l'affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est

\[ b-a. \]

L'affixe du milieu \(I\) du segment \([AB]\) est

\[ z_I=\frac{a+b}{2}. \]

Interprétation géométrique de la conjugaison

Si \(M\) a pour affixe \(z=x+\mathrm{i}y\), le point d'affixe \(\overline{z}=x-\mathrm{i}y\) est le symétrique de \(M\) par rapport à l'axe réel.

Module d'un nombre complexe

Définition

Soit \(z=x+\mathrm{i}y\in\mathbb{C}\). Le module de \(z\) est le réel positif \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\).

Dans le plan complexe, si \(M\) a pour affixe \(z\), alors

\[ OM=|z|. \]

Plus généralement, si \(A\) et \(B\) ont pour affixes \(a\) et \(b\), alors

\[ AB=|b-a|. \]

Propriétés du module

Propriété

Soient \(z,z'\in\mathbb{C}\). Alors :

\(|z|\geq0\) ;
\(|z|=0\iff z=0\) ;
\(|\overline{z}|=|z|\) ;
\(|z|^2=z\overline{z}\) ;
\(|\operatorname{Re}(z)|\leq|z|\) et \(|\operatorname{Im}(z)|\leq|z|\) ;
\(|zz'|=|z|\,|z'|\) ;
si \(z'\neq0\), alors \(\displaystyle \left|\frac z{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}\).

Démonstration

Soient \(z=x+\mathrm{i}y\) et \(z'=x'+\mathrm{i}y'\). On a

\[ z\overline{z}=(x+\mathrm{i}y)(x-\mathrm{i}y)=x^2+y^2=|z|^2. \]

Puisque \((zz')\overline{(zz')}=(z\overline{z})(z'\overline{z'})\), on obtient \(|zz'|^2=|z|^2|z'|^2\). Les deux membres étant positifs, on en déduit \(|zz'|=|z|\,|z'|\).

Inégalité triangulaire

Théorème — inégalité triangulaire

Pour tous \(z,z'\in\mathbb{C}\),

\[ |z+z'|\leq |z|+|z'|. \]

Démonstration

On calcule

\[ |z+z'|^2=(z+z')(\overline{z}+\overline{z'})=|z|^2+|z'|^2+2\operatorname{Re}(z\overline{z'}). \]

Or \(\operatorname{Re}(z\overline{z'})\leq |z\overline{z'}|=|z|\,|z'|\). Ainsi

\[ |z+z'|^2\leq (|z|+|z'|)^2. \]

Les deux membres étant positifs, l'inégalité annoncée en découle.

Propriété — cas d'égalité

Soient \(z,z'\in\mathbb{C}\). On a \(|z+z'|=|z|+|z'|\) si et seulement si \(z\) et \(z'\) sont positivement colinéaires, c'est-à-dire si l'un des deux est nul ou s'il existe \(\lambda\geq0\) tel que \(z=\lambda z'\).

Propriété — seconde inégalité triangulaire

Pour tous \(z,z'\in\mathbb{C}\),

\[ \bigl||z|-|z'|\bigr|\leq |z-z'|. \]

Démonstration

Par l'inégalité triangulaire,

\[ |z|=|(z-z')+z'|\leq|z-z'|+|z'|. \]

Ainsi

\[ |z|-|z'|\leq|z-z'|. \]

En échangeant \(z\) et \(z'\), on obtient également

\[ |z'|-|z|\leq|z-z'|. \]

Les deux inégalités se regroupent en

\[ \boxed{\bigl||z|-|z'|\bigr|\leq|z-z'|.} \]

Propriété — inégalité triangulaire généralisée

Soient \(n\in\mathbb{N}^*\) et \(z_1,\ldots,z_n\in\mathbb{C}\). Alors

\[ \left|\sum_{k=1}^{n} z_k\right|\leq \sum_{k=1}^{n}|z_k|. \]

Démonstration

On raisonne par récurrence sur \(n\). Pour \(n=1\), l'égalité est immédiate. Supposons la propriété vraie à l'ordre \(n\). Par l'inégalité triangulaire,

\[ \left|\sum_{k=1}^{n+1}z_k\right|=\left|\left(\sum_{k=1}^{n}z_k\right)+z_{n+1}\right| \leq\left|\sum_{k=1}^{n}z_k\right|+|z_{n+1}|\leq\sum_{k=1}^{n}|z_k|+|z_{n+1}|. \]

La propriété est donc vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\).

Remarque — cas d'égalité

Lorsque tous les \(z_k\) non nuls ont un même argument modulo \(2\pi\), on a

\[ \left|\sum_{k=1}^{n}z_k\right|=\sum_{k=1}^{n}|z_k|. \]

Réciproquement, cette condition caractérise le cas d'égalité lorsque la somme comporte au moins deux termes non nuls.

Cercles et disques

Soit \(\omega\in\mathbb{C}\) et soit \(r>0\).

\(|z-\omega|=r\) décrit le cercle de centre \(\Omega(\omega)\) et de rayon \(r\) ;
\(|z-\omega|\leq r\) décrit le disque fermé de centre \(\Omega\) et de rayon \(r\) ;
\(|z-\omega|\lt r\) décrit le disque ouvert de centre \(\Omega\) et de rayon \(r\).

Équations complexes de droites et de cercles

Propriété — équation complexe d'une droite

Soient \(a\in\mathbb{C}^*\) et \(c\in\mathbb{R}\). L'ensemble des points \(M(z)\) vérifiant

\[ a\overline{z}+\overline{a}\,z+c=0 \]

est une droite. Réciproquement, toute droite du plan complexe admet une équation de cette forme.

Démonstration

Écrivons \(a=\alpha+\mathrm{i}\beta\) et \(z=x+\mathrm{i}y\). Alors

\[ a\overline{z}+\overline{a}\,z=2(\alpha x+\beta y). \]

L'équation devient donc

\[ 2\alpha x+2\beta y+c=0. \]

Comme \(a\neq0\), on a \((\alpha,\beta)\neq(0,0)\) : il s'agit bien d'une droite. Réciproquement, une droite d'équation réelle \(Ax+By+C=0\), avec \((A,B)\neq(0,0)\), s'obtient en choisissant

\[ a=\frac{A+\mathrm{i}B}{2},\qquad c=C. \]

Propriété — équation complexe d'un cercle

Soient \(a\in\mathbb{C}\) et \(b\in\mathbb{R}\). L'équation

\[ z\overline{z}-\overline{a}\,z-a\overline{z}+b=0 \]

se réécrit

\[ |z-a|^2=|a|^2-b. \]

Ainsi, si \(|a|^2-b>0\), elle décrit le cercle de centre d'affixe \(a\) et de rayon \(\sqrt{|a|^2-b}\).

Démonstration

On utilise

\[ |z-a|^2=(z-a)(\overline{z}-\overline{a})=z\overline{z}-\overline{a}\,z-a\overline{z}+|a|^2. \]

Par conséquent,

\[ z\overline{z}-\overline{a}\,z-a\overline{z}+b=0 \iff |z-a|^2=|a|^2-b. \]

Remarque

Dans l'équation précédente :

si \(|a|^2-b>0\), on obtient un cercle véritable ;
si \(|a|^2-b=0\), l'ensemble se réduit au point d'affixe \(a\) ;
si \(|a|^2-b\lt0\), l'ensemble est vide.

Exemple — médiatrice

Soient \(a,b\in\mathbb{C}\) avec \(a\neq b\). L'ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z-a|=|z-b|\) est la médiatrice du segment \([AB]\).

Exercice

Énoncé

Déterminer géométriquement les ensembles suivants :

1.\(\{z\in\mathbb{C}\mid |z-(1+\mathrm{i})|=2\}\) ;

2.\(\{z\in\mathbb{C}\mid |z-2|\leq3\}\) ;

3.\(\{z\in\mathbb{C}\mid |z-\mathrm{i}|=|z+2|\}\).

Exercice — module et lieu géométrique

Énoncé

Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\) tels que

\[ \left|\frac{z-1}{z+\mathrm{i}}\right|=2. \]

On précisera la nature géométrique de l'ensemble obtenu.

Nombres complexes de module \(1\) et trigonométrie

Le cercle unité

Définition

On note

\[ \mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1\}. \]

L'ensemble \(\mathbb{U}\) s'identifie au cercle trigonométrique.

Tout élément de \(\mathbb{U}\) s'écrit sous la forme \(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\), avec \(\theta\in\mathbb{R}\).

Définition — notation exponentielle sur le cercle unité

Pour tout \(\theta\in\mathbb{R}\), on pose

\[ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta. \]

Propriété

Pour tous \(\theta,\varphi\in\mathbb{R}\) :

\(|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}|=1\) ;
\(\overline{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\) ;
\(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\iff \theta\equiv\varphi\ [2\pi]\) ;
\(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\varphi)}\) ;
\(\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta-\varphi)}\).

Formules d'Euler

Théorème — formules d'Euler

Pour tout \(\theta\in\mathbb{R}\),

\[ \cos\theta=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2} \qquad\text{et}\qquad \sin\theta=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}. \]

Démonstration

Comme \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\) et \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}=\cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta\), il suffit d'additionner puis de soustraire ces deux égalités.

Formule de Moivre

Théorème — formule de Moivre

Pour tout \(\theta\in\mathbb{R}\) et tout \(n\in\mathbb{Z}\),

\[ (\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta). \]

Démonstration

La relation s'écrit simplement

\[ (\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})^n=\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}. \]

Linéarisation et délinéarisation

Les formules d'Euler permettent de transformer des puissances de sinus et de cosinus en combinaisons linéaires de fonctions trigonométriques.

Exemple — linéarisation de \(\cos^3 x\)

Soit \(x\in\mathbb{R}\). On a

\[ \cos^3x=\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}2\right)^3 =\frac18\left(\mathrm{e}^{3\mathrm{i}x}+3\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+3\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}x}\right) =\frac14\bigl(\cos(3x)+3\cos x\bigr). \]

Exemple — expression de \(\cos(3x)\) en fonction de \(\cos x\)

Soit \(x\in\mathbb{R}\). Par la formule de Moivre, \((\cos x+\mathrm{i}\sin x)^3=\cos(3x)+\mathrm{i}\sin(3x)\). En identifiant les parties réelles, on obtient

\[ \cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x. \]

Exercice — linéarisation

Énoncé

Linéariser \(\cos^4x\) et \(\sin^4x\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).

Sommes trigonométriques

Méthode — calcul de \(\sum \cos(kx)\) et \(\sum \sin(kx)\)

Pour calculer une somme trigonométrique, on introduit

\[ S_n=\sum_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}. \]

Si \(x\notin2\pi\mathbb{Z}\), alors

\[ S_n=\frac{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}(n+1)x}}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}}. \]

On prend ensuite la partie réelle ou la partie imaginaire.

Méthode — factorisation par l'angle moitié

Soient \(a,b\in\mathbb{R}\). Pour factoriser une somme ou une différence d'exponentielles complexes, on fait apparaître l'angle moyen \(\dfrac{a+b}{2}\) :

\[ \mathrm{e}^{\mathrm{i}a}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}b}=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a+b)/2}\cos\left(\frac{a-b}{2}\right), \qquad \mathrm{e}^{\mathrm{i}a}-\mathrm{e}^{\mathrm{i}b}=2\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a+b)/2}\sin\left(\frac{a-b}{2}\right). \]

En pratique, on écrit

\[ \mathrm{e}^{\mathrm{i}a}\pm\mathrm{e}^{\mathrm{i}b} =\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a+b)/2}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a-b)/2}\pm\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(a-b)/2}\right), \]

puis on utilise les formules d'Euler. Cette technique est un réflexe classique pour les sommes trigonométriques et les calculs d'arguments.

Propriété — factorisation de \(1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}\)

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\),

\[ 1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=-2\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}x/2}\sin\left(\frac x2\right), \qquad 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}x/2}\cos\left(\frac x2\right). \]

Démonstration

On met \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x/2}\) en facteur :

\[ 1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}x/2}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x/2}-\mathrm{e}^{\mathrm{i}x/2}\right). \]

D'après la formule d'Euler

\[ \mathrm{e}^{\mathrm{i}t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}t}=2\mathrm{i}\sin t, \]

donc

\[ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x/2}-\mathrm{e}^{\mathrm{i}x/2}=-2\mathrm{i}\sin\left(\frac x2\right). \]

Par conséquent,

\[ \boxed{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=-2\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}x/2}\sin\left(\frac x2\right).} \]

De même,

\[ 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}x/2}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x/2}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}x/2}\right) =2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}x/2}\cos\left(\frac x2\right). \]

Exercice — sommes trigonométriques

Énoncé

Pour \(n\in\mathbb{N}\) et \(x\notin2\pi\mathbb{Z}\), calculer

\[ \sum_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}. \]

En déduire une expression de

\[ \sum_{k=0}^{n}\cos(kx) \qquad\text{et}\qquad \sum_{k=0}^{n}\sin(kx). \]

Forme trigonométrique et argument

Argument d'un nombre complexe non nul

Définition

Soit \(z\in\mathbb{C}^*\). Comme \(z/|z|\) est de module \(1\), il existe \(\theta\in\mathbb{R}\) tel que \(z=|z|(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)=|z|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\). Tout réel \(\theta\) vérifiant cette relation est appelé un argument de \(z\).

On écrit

\[ \arg(z)\equiv\theta\ [2\pi]. \]

Si l'on choisit l'unique argument dans \(]-\pi,\pi]\), on l'appelle argument principal et on le note \(\operatorname{Arg}(z)\).

Remarque

Le nombre complexe \(0\) n'a pas d'argument.

Propriétés de l'argument

Propriété

Soient \(z,z'\in\mathbb{C}^*\). Alors

\[ \arg(zz')\equiv\arg(z)+\arg(z')\ [2\pi], \qquad \arg\left(\frac z{z'}\right)\equiv\arg(z)-\arg(z')\ [2\pi], \] \[ \arg(\overline{z})\equiv-\arg(z)\ [2\pi], \qquad \arg(z^n)\equiv n\arg(z)\ [2\pi],\quad n\in\mathbb{Z}. \]

Méthode — trouver une forme trigonométrique

Pour écrire \(z=x+\mathrm{i}y\neq0\) sous la forme \(z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\) :

1.calculer \(r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\) ;

2.déterminer \(\theta\) à l'aide de \(\cos\theta=x/r\) et \(\sin\theta=y/r\) ;

3.vérifier le quadrant correspondant au point \((x,y)\).

Exemple

Soit \(z=-1+\sqrt3\,\mathrm{i}\). On a \(|z|=2\), puis \(\cos\theta=-\dfrac12\) et \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\). Ainsi

\[ z=2\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}. \]

Exercice — module et argument

Énoncé

Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes

\[ 1+\mathrm{i},\qquad -\sqrt3+\mathrm{i},\qquad -2\mathrm{i},\qquad \frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}\sqrt3}. \]

Transformation de \(a\cos t+b\sin t\)

Propriété

Soient \(a,b\in\mathbb{R}\) non tous deux nuls. Il existe \(A>0\) et \(\varphi\in\mathbb{R}\) tels que, pour tout \(t\in\mathbb{R}\),

\[ a\cos t+b\sin t=A\cos(t-\varphi), \]

avec

\[ A=\sqrt{a^2+b^2}, \qquad \cos\varphi=\frac aA, \qquad \sin\varphi=\frac bA. \]