Maths Sup

Les nombres complexes — Partie 2

Des racines carrées et des équations du second degré aux racines \(n\)-ièmes, à l'exponentielle complexe et à ses applications géométriques (angles, alignement, similitudes) : la boîte à outils qui transforme la trigonométrie et la géométrie plane en calcul algébrique.

Racines carrées et équations du second degré

Racines carrées dans \(\mathbb{C}\)

Théorème

Tout nombre complexe non nul possède exactement deux racines carrées opposées.

Démonstration

Soit \(z_0\in\mathbb{C}^*\). Écrivons \(z_0=r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), avec \(r>0\). Cherchons \(z=\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\) tel que \(z^2=z_0\). On doit avoir

\[ \rho^2=r \qquad\text{et}\qquad 2\varphi\equiv\theta\ [2\pi]. \]

Comme \(\rho>0\), on obtient \(\rho=\sqrt r\) et \(\varphi\equiv\dfrac{\theta}{2}\ [\pi]\). Il existe donc exactement deux valeurs distinctes modulo \(2\pi\) : \(\dfrac{\theta}{2}\) et \(\dfrac{\theta}{2}+\pi\). Les deux racines sont ainsi

\[ \sqrt r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta/2} \qquad\text{et}\qquad -\sqrt r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta/2}. \]

Elles sont bien opposées et distinctes puisque \(z_0\neq0\).

Méthode trigonométrique

Soit \(z_0=r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\neq0\). Les deux solutions de \(z^2=z_0\) sont \(z=\sqrt r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta/2}\) et \(-z\).

Méthode algébrique

Soit \(z_0=a+\mathrm{i} b\) et cherchons \(z=x+\mathrm{i} y\) tel que \(z^2=z_0\). Alors \((x+\mathrm{i} y)^2=a+\mathrm{i} b\), d'où

\[ \begin{cases} x^2-y^2=a,\\ 2xy=b. \end{cases} \]

De plus, comme \(|z|^2=|z_0|\), on a \(x^2+y^2=|z_0|\). Ainsi

\[ x^2=\frac{|z_0|+a}{2}, \qquad y^2=\frac{|z_0|-a}{2}, \]

et le signe de \(xy\) est imposé par le signe de \(b\).

Exemple

Déterminons les racines carrées de \(3+4\mathrm{i}\). Comme \(|3+4\mathrm{i}|=5\), on obtient

\[ x^2=\frac{5+3}{2}=4, \qquad y^2=\frac{5-3}{2}=1. \]

Puisque \(2xy=4>0\), \(x\) et \(y\) ont le même signe. Les deux racines sont

\[ 2+\mathrm{i} \qquad\text{et}\qquad -2-\mathrm{i}. \]

Équation du second degré

Théorème

Soient \(a,b,c\in\mathbb{C}\) avec \(a\neq0\) et \(az^2+bz+c=0\). On pose \(\Delta=b^2-4ac\) et on choisit \(\delta\in\mathbb{C}\) tel que \(\delta^2=\Delta\). Les solutions sont

\[ z_1=\frac{-b-\delta}{2a}, \qquad z_2=\frac{-b+\delta}{2a}. \]

Elles sont confondues si et seulement si \(\Delta=0\).

Démonstration

On part de \(az^2+bz+c=0\). Comme \(a\neq0\), on multiplie l'égalité par \(4a\) : \(4a^2z^2+4abz+4ac=0\). En ajoutant \(b^2-4ac=\Delta\) aux deux membres, on obtient \((2az+b)^2=\Delta=\delta^2\). Ainsi \((2az+b-\delta)(2az+b+\delta)=0\). Donc \(2az+b=\delta\) ou \(2az+b=-\delta\), ce qui donne

\[ z=\frac{-b+\delta}{2a} \qquad\text{ou}\qquad z=\frac{-b-\delta}{2a}. \]

Les deux solutions sont confondues si et seulement si \(\delta=0\), ce qui équivaut à \(\Delta=0\).

Propriété — somme et produit des racines

Si \(z_1\) et \(z_2\) sont les deux racines, comptées avec multiplicité, de \(az^2+bz+c\), alors

\[ z_1+z_2=-\frac ba \qquad\text{et}\qquad z_1z_2=\frac ca. \]

Exemple

Résolvons \(z^2-3\mathrm{i} z-3-\mathrm{i}=0\). On a

\[ \Delta=(-3\mathrm{i})^2-4(-3-\mathrm{i})=-9+12+4\mathrm{i}=3+4\mathrm{i}=(2+\mathrm{i})^2. \]

On peut donc choisir \(\delta=2+\mathrm{i}\). Ainsi

\[ z_1=\frac{3\mathrm{i}-(2+\mathrm{i})}2=-1+\mathrm{i}, \qquad z_2=\frac{3\mathrm{i}+(2+\mathrm{i})}2=1+2\mathrm{i}. \]

Exercice

Énoncé

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) :

1.\(z^2-(2+\mathrm{i})z+1+\mathrm{i}=0\) ;

2.\(z^2+2z+5=0\) ;

3.\((1+\mathrm{i})z^2-2z+1-\mathrm{i}=0\).

Exercice — équation du second degré

Énoncé

Résoudre dans \(\mathbb{C}\)

\[ z^2-(1+3\mathrm{i})z-2+\mathrm{i}=0. \]

Racines \(n\)-ièmes

Racines \(n\)-ièmes de l'unité

Définition

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On appelle racine \(n\)-ième de l'unité tout nombre complexe \(z\) tel que \(z^n=1\). On note \(\mathbb{U}_n\) l'ensemble de ces racines.

Théorème

Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\),

\[ \mathbb{U}_n=\left\{ \mathrm{e}^{2\mathrm{i} k\pi/n} \;\middle|\; k\in\{0,\ldots,n-1\} \right\}. \]

Démonstration

Soit \(z\in\mathbb{C}\). Si \(z^n=1\), alors \(|z|^n=1\), donc \(|z|=1\). Ainsi \(z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\) pour un certain \(\theta\in\mathbb{R}\). L'égalité \(z^n=1\) devient \(\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\theta}=1\), donc \(n\theta\in2\pi\mathbb{Z}\). Ainsi \(\theta=\dfrac{2k\pi}{n}\), \(k\in\mathbb{Z}\). Modulo \(2\pi\), il suffit de prendre \(k\in\{0,\ldots,n-1\}\).

Propriété — somme des racines de l'unité

Si \(n\geq2\), alors

\[ \sum_{\omega\in\mathbb{U}_n}\omega=0. \]

Démonstration

Soit \(\omega=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/n}\). Comme \(\omega\neq1\) et \(\omega^n=1\),

\[ 1+\omega+\cdots+\omega^{n-1}=\frac{1-\omega^n}{1-\omega}=0. \]

Remarque

Dans le plan complexe, les éléments de \(\mathbb{U}_n\) sont les sommets d'un polygone régulier à \(n\) côtés, inscrit dans le cercle unité : par exemple, les racines sixièmes de l'unité forment un hexagone régulier dont un sommet est \(1\).

Racines \(n\)-ièmes d'un complexe non nul

Théorème

Soient \(a=r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\in\mathbb{C}^*\) et \(n\in\mathbb{N}^*\). Les solutions de \(z^n=a\) sont

\[ z_k=r^{1/n}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+2k\pi)/n}, \qquad k\in\{0,\ldots,n-1\}. \]

Démonstration

Soit \(z=\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\), \(\rho>0\). Alors \(z^n=\rho^n\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\varphi}\). L'égalité \(z^n=a=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\) équivaut à \(\rho^n=r\) et \(n\varphi\equiv\theta\ [2\pi]\). On obtient donc \(\rho=r^{1/n}\) et \(\varphi=\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\), \(k\in\mathbb{Z}\). Deux entiers \(k\) donnant la même racine sont congrus modulo \(n\). Il suffit donc de prendre \(k=0,\ldots,n-1\), ce qui fournit exactement \(n\) racines distinctes :

\[ \boxed{ z_k=r^{1/n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+2k\pi)/n} }. \]

Méthode — résoudre \(z^n=a\)

1.écrire \(a\) sous forme trigonométrique \(a=r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\) ;

2.prendre le module \(r^{1/n}\) ;

3.diviser les arguments \(\theta+2k\pi\) par \(n\) ;

4.conserver exactement \(n\) valeurs, pour \(k=0,\ldots,n-1\).

Exemple

Résolvons \(z^3=-\mathrm{i}\). Comme \(-\mathrm{i}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2}\), les solutions sont

\[ z_k=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(-\pi/2+2k\pi)/3}, \qquad k\in\{0,1,2\}. \]

Exercice — racines \(n\)-ièmes

Énoncé

Déterminer toutes les solutions de \(z^5=32\mathrm{i}\). Les représenter dans le plan complexe.

Exponentielle complexe

Définition

Soit \(z=x+\mathrm{i} y\in\mathbb{C}\). On définit l'exponentielle complexe par

\[ \mathrm{e}^z=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y)=\mathrm{e}^x\mathrm{e}^{\mathrm{i} y}. \]

Propriété

Soient \(z,z'\in\mathbb{C}\). Alors :

i.\(\mathrm{e}^z\neq0\) ;

ii.\(\mathrm{e}^{z+z'}=\mathrm{e}^z\mathrm{e}^{z'}\) ;

iii.\(\dfrac1{\mathrm{e}^z}=\mathrm{e}^{-z}\) ;

iv.\(|\mathrm{e}^z|=\mathrm{e}^{\operatorname{Re}(z)}\) ;

v.\(\arg(\mathrm{e}^z)\equiv\operatorname{Im}(z)\ [2\pi]\).

Théorème — périodicité complexe

Pour tous \(z,z'\in\mathbb{C}\),

\[ \mathrm{e}^z=\mathrm{e}^{z'} \iff z-z'\in2\mathrm{i}\pi\mathbb{Z}. \]

Démonstration

Soient \(z=x+\mathrm{i} y\) et \(z'=x'+\mathrm{i} y'\). Si \(\mathrm{e}^z=\mathrm{e}^{z'}\), alors les modules sont égaux, donc \(\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^{x'}\) et ainsi \(x=x'\). Les arguments sont égaux modulo \(2\pi\), donc \(y-y'\in2\pi\mathbb{Z}\). La réciproque est immédiate.

Théorème — surjectivité sur \(\mathbb{C}^*\)

L'application \(\exp:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}^*\) est surjective.

Démonstration

Soit \(w\in\mathbb{C}^*\). Écrivons \(w=r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), \(r=|w|>0\). Posons \(z=\ln r+\mathrm{i}\theta\). Alors \(\mathrm{e}^z=\mathrm{e}^{\ln r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=w\). Ainsi tout élément de \(\mathbb{C}^*\) possède au moins un antécédent par l'exponentielle complexe. L'application \(\exp:\mathbb{C}\to\mathbb{C}^*\) est donc surjective.

Méthode — résoudre \(\mathrm{e}^z=a\)

Soit \(a\in\mathbb{C}^*\) écrit sous la forme \(a=|a|\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\). Les solutions de \(\mathrm{e}^z=a\) sont

\[ z=\ln|a|+\mathrm{i}(\theta+2k\pi), \qquad k\in\mathbb{Z}. \]

Exemple

Résolvons \(\mathrm{e}^z=-2\mathrm{i}\). Comme \(-2\mathrm{i}=2\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2}\), les solutions sont

\[ z=\ln2+\mathrm{i}\left(-\frac\pi2+2k\pi\right), \qquad k\in\mathbb{Z}. \]

Interprétation géométrique : angles, alignement et orthogonalité

Argument d'un quotient

Soient \(A,B,C\) trois points du plan complexe d'affixes respectives \(a,b,c\), avec \(A\neq B\) et \(A\neq C\).

Propriété — angle orienté

On a

\[ (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) \equiv \arg\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\ [2\pi]. \]

Propriété — alignement

Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si

\[ \frac{c-a}{b-a}\in\mathbb{R}. \]

Propriété — orthogonalité

Les droites \((AB)\) et \((AC)\) sont perpendiculaires si et seulement si

\[ \frac{c-a}{b-a}\in\mathrm{i}\mathbb{R}. \]

Propriété — caractérisations d'un triangle équilatéral

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points distincts d'affixes \(a\), \(b\) et \(c\), et posons \(j=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}\). Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

i.le triangle \(ABC\) est équilatéral ;

ii.\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\) ;

iii.l'une des deux relations suivantes est vérifiée : \(a+jb+j^2c=0\) ou \(a+j^2b+jc=0\).

Les deux égalités du point iii) correspondent aux deux orientations possibles du triangle.

Démonstration

Posons \(u=b-a\), \(v=c-a\). Comme les points sont distincts, \(u\neq0\) et \(v\neq0\). On calcule \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=u^2-uv+v^2\). Ainsi

\[ a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca \iff \left(\frac{u}{v}\right)^2-\frac{u}{v}+1=0. \]

Les deux racines de \(X^2-X+1\) sont \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}=-j^2\) et \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3}=-j\). On obtient donc \(\dfrac{b-a}{c-a}\in\{-j,-j^2\}\). Dans les deux cas, ce quotient est de module \(1\) et d'argument \(\pm\pi/3\) : on a \(AB=AC\) et l'angle en \(A\) vaut \(\pi/3\). Le triangle est donc équilatéral, et la réciproque est immédiate.

Enfin, puisque \(1+j+j^2=0\), \(a+jb+j^2c=j(b-a)+j^2(c-a)\), de sorte que \(a+jb+j^2c=0 \iff \dfrac{b-a}{c-a}=-j\). De même, \(a+j^2b+jc=0 \iff \dfrac{b-a}{c-a}=-j^2\). On obtient bien les équivalences annoncées.

Remarque

Dans les deux critères précédents, le quotient contient simultanément un rapport de longueurs par son module et un angle orienté par son argument. C'est l'un des outils les plus efficaces de la géométrie complexe.

Exemple

Soient \(A(0)\), \(B(1+\mathrm{i})\) et \(C(2\mathrm{i})\). On a

\[ \frac{c-a}{b-a}=\frac{2\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=1+\mathrm{i}. \]

Le quotient n'est ni réel ni imaginaire pur : les points ne sont pas alignés et les droites \((AB)\) et \((AC)\) ne sont pas perpendiculaires.

Exercice

Énoncé

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) d'affixes \(a=1+\mathrm{i}\), \(b=3+2\mathrm{i}\), \(c=-\mathrm{i}\). Déterminer l'angle \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) et comparer les longueurs \(AB\) et \(AC\).

Exercice — alignement et orthogonalité

Énoncé

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points distincts d'affixes \(a\), \(b\) et \(c\). Montrer que :

a.\(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si \(\dfrac{c-a}{b-a}\in\mathbb{R}\) ;

b.\((AB)\perp(AC)\) si et seulement si \(\dfrac{c-a}{b-a}\in\mathrm{i}\mathbb{R}\).

Transformations du plan complexe

Translation

Définition

Soit \(u\in\mathbb{C}\). La translation de vecteur d'affixe \(u\) a pour écriture complexe \(z'=z+u\).

Homothétie

Définition

Soient \(\omega\in\mathbb{C}\) et \(k\in\mathbb{R}^*\). L'homothétie de centre \(\Omega(\omega)\) et de rapport \(k\) a pour écriture

\[ z'-\omega=k(z-\omega). \]

Rotation

Définition

Soient \(\omega\in\mathbb{C}\) et \(\theta\in\mathbb{R}\). La rotation de centre \(\Omega(\omega)\) et d'angle \(\theta\) a pour écriture

\[ z'-\omega=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(z-\omega). \]

Similitudes directes

Définition

Une application du plan complexe d'écriture \(z'=az+b\), \(a\in\mathbb{C}^*\), \(b\in\mathbb{C}\), est une similitude directe.

Théorème — interprétation de \(z'=az+b\)

Soient \(a\in\mathbb{C}^*\) et \(b\in\mathbb{C}\).

Si \(a=1\), l'application \(z\mapsto z+b\) est une translation.
Si \(a\neq1\), elle possède un unique point fixe d'affixe \(\omega=\dfrac{b}{1-a}\). De plus, \(z'-\omega=a(z-\omega)\). Elle est donc une similitude directe de centre \(\Omega(\omega)\), de rapport \(|a|\) et d'angle \(\arg(a)\) modulo \(2\pi\).

Démonstration

Supposons \(a\neq1\). Le point fixe vérifie \(\omega=a\omega+b\), donc \((1-a)\omega=b\) et \(\omega=\dfrac{b}{1-a}\). Ensuite, \(z'-\omega=az+b-\omega=az-a\omega=a(z-\omega)\). Le module de \(a\) multiplie les distances et un argument de \(a\) ajoute l'angle correspondant.

Remarque — cas particuliers

Pour \(a\neq1\) :

si \(a\in\mathbb{R}^*\), on obtient une homothétie de rapport \(a\) ;
si \(|a|=1\), on obtient une rotation ;
dans le cas général, on obtient la composée d'une rotation et d'une homothétie de même centre.

Exemple — identification d'une transformation

Considérons \(z'=(1-\mathrm{i})z+2\). Comme \(a=1-\mathrm{i}\neq1\), la transformation possède un centre d'affixe

\[ \omega=\frac{2}{1-(1-\mathrm{i})}=\frac{2}{\mathrm{i}}=-2\mathrm{i}. \]

Son rapport vaut \(|1-\mathrm{i}|=\sqrt2\), et un angle est \(-\pi/4\).

Conjugaison et symétrie

Propriété

L'application \(z\longmapsto\overline{z}\) représente la symétrie orthogonale par rapport à l'axe réel.

Exercice

Énoncé

Identifier complètement les transformations suivantes :

1.\(z'=z-1+3\mathrm{i}\) ;

2.\(z'=\mathrm{i} z+1-\mathrm{i}\) ;

3.\(z'=-2z+3\) ;

4.\(z'=(1+\mathrm{i}\sqrt3)z-2\).

Exercice — similitude directe

Énoncé

On considère l'application \(f(z)=(1-\mathrm{i}\sqrt3)z+2+2\mathrm{i}\). Déterminer son centre, son rapport et un angle. Donner ensuite l'écriture de \(f\) sous la forme \(f(z)-\omega=a(z-\omega)\).

Exercices de synthèse

Les exercices suivants mobilisent plusieurs parties du chapitre. Ils sont destinés à être traités après l'étude complète du cours.

Exercice — synthèse 1 : module, argument et géométrie

Énoncé

Soient \(A\) et \(B\) les points d'affixes respectives \(1\) et \(\mathrm{i}\). Déterminer l'ensemble des points \(M(z)\), avec \(z\neq\mathrm{i}\), tels que \(\left|\dfrac{z-1}{z-\mathrm{i}}\right|=1\). Déterminer ensuite l'ensemble des points \(M(z)\) tels que \(\arg\left(\dfrac{z-1}{z-\mathrm{i}}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [\pi]\). Interpréter géométriquement les deux résultats.

Exercice — synthèse 2 : racines de l'unité

Énoncé

Soit \(\omega=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/5}\).

1.Montrer que \(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0\).

2.En déduire une relation vérifiée par \(\omega+\omega^{-1}\).

3.Déterminer la valeur exacte de \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\).

Exercice — synthèse 3 : équation et forme trigonométrique

Énoncé

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(z^4+4=0\). Donner les solutions sous forme exponentielle puis sous forme algébrique, et les représenter dans le plan complexe.

Exercice — synthèse 4 : similitude et itérations

Énoncé

On considère l'application \(f\) définie par \(f(z)=\dfrac{1+\mathrm{i}}{2}z+1\).

1.Déterminer le centre, le rapport et un angle de \(f\).

2.Si \(z_{n+1}=f(z_n)\), exprimer \(z_n-\omega\) en fonction de \(z_0-\omega\), où \(\omega\) est l'affixe du centre.

3.Étudier la convergence de la suite \((z_n)\).

Exercice — synthèse 5 : trigonométrie complexe

Énoncé

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\) et \(x\in\mathbb{R}\) tel que \(x\notin2\pi\mathbb{Z}\). À l'aide des nombres complexes, montrer que

\[ \sum_{k=1}^{n}\cos(kx)=\frac{\sin\left(\frac{nx}{2}\right)\cos\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}. \]

Établir de même une formule pour \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sin(kx)\).

Résumé — formulaire minimal à connaître

Pour \(z=x+\mathrm{i} y\) :

\(\overline{z}=x-\mathrm{i} y\), \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\), \(|z|^2=z\overline{z}\) ;
\(\operatorname{Re}(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}\), \(\operatorname{Im}(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2\mathrm{i}}\) ;
pour \(z\neq0\) : \(z=|z|\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), \(\arg(z)\equiv\theta\ [2\pi]\) ;
formules d'Euler : \(\cos\theta=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}2\), \(\sin\theta=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}\) ;
formule de Moivre : \((\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)\) ;
racines \(n\)-ièmes de \(a=r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\neq0\) : \(z_k=r^{1/n}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+2k\pi)/n}\), \(k=0,\ldots,n-1\) ;
équation du second degré : \(az^2+bz+c=0\), \(\Delta=b^2-4ac\), \(z=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}\), \(\delta^2=\Delta\) ;
géométrie : \(AB=|b-a|\), \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\equiv\arg\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right)[2\pi]\) ;
similitude directe : \(z'=az+b\), \(a\neq0\) ; si \(a\neq1\), son centre a pour affixe \(\omega=\dfrac{b}{1-a}\).