Chapitre 1 · 1 Bac SM

Notions de logique

Écrire une phrase mathématique, la nier sans se tromper, et choisir le bon raisonnement pour la démontrer. Tout le reste de l'année s'appuie sur ce chapitre.

Propositions et fonctions propositionnelles

Activité

Déterminer la nature de chacun des énoncés suivants :

1.\(5^{2}=25\).

2.\(x^{2}-5x+6=0\), avec \(x\in\mathbb{R}\).

3.\(\forall x\in\mathbb{R},\ x^{2}+1>0\).

4.\(\exists x\in\mathbb{R},\ x^{2}=9\).

Définition · proposition

Une proposition est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer une seule valeur de vérité : vraie ou fausse.

On note \(\mathrm{V}\) ou \(1\) pour vrai, et \(\mathrm{F}\) ou \(0\) pour faux.

Exemples

•\(P:\ 5^{2}=25\) est une proposition vraie.

•\(Q:\ -3\in\mathbb{N}\) est une proposition fausse.

•\(R:\ \sqrt{5}>3\) est une proposition fausse.

Définition · fonction propositionnelle

Une fonction propositionnelle (ou prédicat) est une expression contenant une ou plusieurs variables appartenant à des ensembles déterminés. Elle devient une proposition dès qu'on remplace les variables par des éléments donnés de ces ensembles.

Par exemple, pour \(P(x):\ x^{2}-5x+6=0\) avec \(x\in\mathbb{R}\) :

\(P(2)\) est vraie car \(4-10+6=0\), tandis que \(P(1)\) est fausse car \(1-5+6=2\neq 0\).

Application 1

Énoncé

Dire si chaque énoncé est une proposition ou une fonction propositionnelle :

1.\(7+4=11\).

2.\(P(x):\ x^{2}+1>0\), pour \(x\in\mathbb{R}\).

3.\(\pi\in\mathbb{Q}\).

4.\(Q(n):\ 2n+1\ \text{est impair}\), pour \(n\in\mathbb{N}\).

Les quantificateurs

Définition · quantificateur universel

La proposition

\[ \forall x\in E,\ P(x) \]

se lit : « pour tout \(x\) de \(E\), la proposition \(P(x)\) est vraie ».

Définition · quantificateur existentiel

La proposition

\[ \exists x\in E,\ P(x) \]

se lit : « il existe au moins un \(x\) de \(E\) tel que \(P(x)\) soit vraie ».

Le symbole \(\exists !\) signifie : « il existe un unique ».

Propriété · négation des quantificateurs \[ \neg\big(\forall x\in E,\ P(x)\big) \iff \exists x\in E,\ \neg P(x) \] \[ \neg\big(\exists x\in E,\ P(x)\big) \iff \forall x\in E,\ \neg P(x) \]

On échange \(\forall\) et \(\exists\), puis on nie la propriété.

Attention · ordre des quantificateurs

Deux quantificateurs de même nature peuvent être échangés :

\[ \big(\forall x\in E,\ \forall y\in F,\ P(x,y)\big)\iff\big(\forall y\in F,\ \forall x\in E,\ P(x,y)\big) \] \[ \big(\exists x\in E,\ \exists y\in F,\ P(x,y)\big)\iff\big(\exists y\in F,\ \exists x\in E,\ P(x,y)\big) \]

En revanche, on ne peut pas échanger \(\forall\) et \(\exists\). L'implication

\[ \big(\exists y\in F,\ \forall x\in E,\ P(x,y)\big)\implies\big(\forall x\in E,\ \exists y\in F,\ P(x,y)\big) \]

est vraie, mais sa réciproque est généralement fausse.

Exemples

•\(\forall x\in\mathbb{R},\ x^{2}+4>0\) est vraie.

•\(\exists x\in\mathbb{R},\ x^{2}-9=0\) est vraie, par exemple pour \(x=3\).

•\(\exists!\,x\in\mathbb{R},\ 5x-10=0\) est vraie, avec \(x=2\).

Application 2

Énoncé

Montrer que les propositions suivantes sont vraies, puis donner leurs négations :

\[ \begin{aligned} P_{1}&:\ \exists x\in\mathbb{R}:\ 4x-12=0 \\ P_{2}&:\ \exists x\in\mathbb{R}:\ x^{2}-5x+4=0 \\ P_{3}&:\ \forall x\in[2;7]:\ x^{2}-9x+14\leq 0 \\ P_{4}&:\ \forall x\in\mathbb{R}:\ x^{2}+2x+5>0 \end{aligned} \]

Opérations sur les propositions

Définition · négation

La négation de \(P\), notée \(\neg P\) (ou \(\overline{P}\)), est vraie lorsque \(P\) est fausse, et fausse lorsque \(P\) est vraie.

\(P\)	\(\neg P\)
V	F
F	V

Définition · conjonction et disjonction

Soient \(P\) et \(Q\) deux propositions. \(P\land Q\) se lit « \(P\) et \(Q\) », et \(P\lor Q\) se lit « \(P\) ou \(Q\) » (ou inclusif).

\(P\)	\(Q\)	\(P\land Q\)	\(P\lor Q\)
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	F

Fixe toi-même les valeurs de \(P\) et de \(Q\), et regarde les cinq connecteurs réagir. Une pastille verte signale une proposition vraie, une pastille ambrée une proposition fausse.

La proposition \(P\) est

La proposition \(Q\) est

¬P = F P ∧ Q = V P ∨ Q = V P ⟹ Q = V P ⟺ Q = V

Propriété · lois de De Morgan \[ \neg(P\land Q)\iff(\neg P)\lor(\neg Q) \] \[ \neg(P\lor Q)\iff(\neg P)\land(\neg Q) \]

Pour nier un « et », on le remplace par un « ou » et on nie chaque proposition ; pour nier un « ou », on le remplace par un « et » et on nie chaque proposition.

Négations des symboles usuels

Proposition	Négation	Lecture de la négation
\(a=b\)	\(a\neq b\)	\(a\) est différent de \(b\)
\(a\neq b\)	\(a=b\)	\(a\) est égal à \(b\)
\(a<b\)	\(a\geq b\)	\(a\) est supérieur ou égal à \(b\)
\(a\leq b\)	\(a>b\)	\(a\) est strictement supérieur à \(b\)
\(a>b\)	\(a\leq b\)	\(a\) est inférieur ou égal à \(b\)
\(a\geq b\)	\(a<b\)	\(a\) est strictement inférieur à \(b\)
\(x\in A\)	\(x\notin A\)	\(x\) n'appartient pas à \(A\)
\(x\notin A\)	\(x\in A\)	\(x\) appartient à \(A\)
\(A\subseteq B\)	\(A\nsubseteq B\)	\(A\) n'est pas inclus dans \(B\)
\(A\nsubseteq B\)	\(A\subseteq B\)	\(A\) est inclus dans \(B\)
\(A\supseteq B\)	\(A\nsupseteq B\)	\(A\) ne contient pas \(B\)
\(a\mid b\)	\(a\nmid b\)	\(a\) ne divise pas \(b\)
\(a\nmid b\)	\(a\mid b\)	\(a\) divise \(b\)
\(a\equiv b\ [n]\)	\(a\not\equiv b\ [n]\)	\(a\) n'est pas congru à \(b\) modulo \(n\)

Attention · inégalités doubles

Une inégalité double est une conjonction déguisée : on la nie avec De Morgan.

\[ \neg(2<x<5)\iff\neg\big((x>2)\land(x<5)\big)\iff (x\leq 2)\lor(x\geq 5) \]

Il ne faut donc jamais écrire \(\neg(2<x<5)\) sous la forme \(2\geq x\geq 5\).

Les cas les plus utilisés :

\[ \neg(a\leq x\leq b)\iff (x<a)\lor(x>b),\qquad \neg(x\geq a)\iff x<a,\qquad \neg(x\leq b)\iff x>b \]

Propriété · lois logiques usuelles

Commutativité.

\[ P\land Q\iff Q\land P,\qquad P\lor Q\iff Q\lor P \]

Distributivité.

\[ P\land(Q\lor R)\iff(P\land Q)\lor(P\land R) \] \[ P\lor(Q\land R)\iff(P\lor Q)\land(P\lor R) \]

Transitivité de l'implication.

\[ \big[(P\implies R)\land(R\implies Q)\big]\implies(P\implies Q) \]

Application 3 · valeur de vérité et négation

Énoncé

Étudier la valeur de vérité, puis donner la négation de :

\[ \begin{aligned} P_{1}&:\ (9-4=5)\lor(2>7) \\ P_{2}&:\ (3<8)\land\left(\tfrac{3}{2}\in\mathbb{Z}\right) \\ P_{3}&:\ 2<\sqrt{6}<3 \end{aligned} \]

Implication et équivalence

Définition · implication

L'implication \(P\implies Q\) est fausse uniquement lorsque \(P\) est vraie et \(Q\) est fausse.

\(P\)	\(Q\)	\(P\implies Q\)	\(P\iff Q\)
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	F
F	F	V	V

La ligne surlignée est la seule qui rend l'implication fausse : c'est elle qu'il faut retenir.

Propriété \[ (P\implies Q)\iff(\neg P\lor Q) \] \[ \neg(P\implies Q)\iff P\land\neg Q \]

\(Q\implies P\) est l'implication réciproque de \(P\implies Q\), et \(\neg Q\implies\neg P\) en est la contraposée — elle a toujours la même valeur de vérité que l'implication de départ.

Exemple

Soit \(P:\ (\sqrt{2}\in\mathbb{R})\implies(\sqrt{2}=1{,}41)\).

L'hypothèse \(\sqrt{2}\in\mathbb{R}\) est vraie et la conclusion \(\sqrt{2}=1{,}41\) est fausse : on est exactement dans la ligne surlignée, donc \(P\) est fausse. Sa négation est :

\[ \sqrt{2}\in\mathbb{R}\ \text{ et }\ \sqrt{2}\neq 1{,}41 \]

Définition · équivalence

L'équivalence \(P\iff Q\) est vraie si et seulement si \(P\) et \(Q\) ont la même valeur de vérité :

\[ (P\iff Q)\iff\big[(P\implies Q)\land(Q\implies P)\big] \]

Démontrer une équivalence, c'est donc démontrer deux implications — ou enchaîner des équivalences successives.

Application 5 · démontrer une implication

Énoncé

Soient \(x,y\in\mathbb{R}\). Montrer que :

\[ x^{2}+y^{2}=2xy\implies x=y \]

Les types de raisonnement

Sept outils, et une seule question à se poser devant un énoncé : qu'est-ce qui est le plus facile à écrire ? Choisis un onglet.

Méthode · raisonnement par contre-exemple

Pour montrer que \(\forall x\in E,\ P(x)\) est fausse, il suffit d'exhiber un élément \(x_{0}\in E\) tel que \(P(x_{0})\) soit fausse.

Exemple : \(\forall x\in\mathbb{R},\ \sqrt{x^{2}}=x\) est fausse, car pour \(x=-2\) on a \(\sqrt{(-2)^{2}}=2\neq -2\).

Application 7

Montrer que les propositions suivantes sont fausses :

1.\(\forall x\in\mathbb{R},\ x^{2}\geq 2x\).

2.\(\forall x\in\mathbb{R},\ x^{2}=3x\implies x=0\).

Les symboles \(\sum\) et \(\prod\)

Définition

Pour des réels \(a_{0},a_{1},\dots,a_{n}\) :

\[ \sum_{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{n} \]

Pour des réels \(a_{1},\dots,a_{n}\) :

\[ \prod_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\times a_{2}\times\cdots\times a_{n} \]

L'indice \(k\) est muet : il peut être renommé sans changer la valeur.

Propriétés usuelles \[ \sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}+\sum_{k=0}^{n}b_{k} \] \[ \sum_{k=0}^{n}c\,a_{k}=c\sum_{k=0}^{n}a_{k} \] \[ \prod_{k=1}^{n}\left(a_{k}b_{k}\right)=\left(\prod_{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\prod_{k=1}^{n}b_{k}\right) \]

Application 15

Énoncé

Pour \(n\in\mathbb{N}^{*}\), on pose \(S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=1+2+\cdots+n\).

1.Calculer \(S_{1}\), \(S_{2}\) et \(S_{3}\).

2.Montrer par récurrence que \(S_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}\).

3.En déduire \(S_{50}\).

Exercices de synthèse

Exercice 16

Énoncé

Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^{*}\) :

\[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2} \]

À retenir

Connecteurs logiques.

\[ \neg(P\land Q)\iff\neg P\lor\neg Q,\qquad \neg(P\lor Q)\iff\neg P\land\neg Q \] \[ (P\implies Q)\iff(\neg P\lor Q),\qquad \neg(P\implies Q)\iff P\land\neg Q \] \[ (P\iff Q)\iff\big[(P\implies Q)\land(Q\implies P)\big] \]

Quantificateurs.

\[ \neg\big(\forall x\in E,\ P(x)\big)\iff\exists x\in E,\ \neg P(x) \] \[ \neg\big(\exists x\in E,\ P(x)\big)\iff\forall x\in E,\ \neg P(x) \]

Choisir son raisonnement.

Une proposition universelle à réfuter → contre-exemple.
Une inégalité à établir → raisonnement direct, en partant d'un carré positif.
Une équation ou une équivalence → équivalences successives.
Une valeur absolue, une partie entière, la parité → disjonction des cas.
Une hypothèse avec un \(\neq\) → contraposition.
Une irrationalité, une non-existence → raisonnement par l'absurde.
Une propriété indexée par \(n\) → récurrence : initialisation, hérédité, conclusion.