Chapitre 2 · 1 Bac SM

Les ensembles

Collections, sous-ensembles, complémentaire, réunion, intersection, différence, produit cartésien : tout le vocabulaire qui décrit « qui appartient à quoi », illustré par des diagrammes que tu peux regarder se construire.

Généralités sur les ensembles

Définition · ensemble

Un ensemble est une collection d'objets bien déterminés. Ces objets sont appelés les éléments de l'ensemble.

Si \(x\) est un élément de l'ensemble \(E\), on écrit \(x\in E\) et on lit « \(x\) appartient à \(E\) ». Si \(x\) n'est pas un élément de \(E\), on écrit \(x\notin E\).

\(E=\{-3,0,2,5\}\) : 2, 5, -3 appartiennent à \(E\), mais 1 est en dehors.

Définition · ensemble vide

L'ensemble qui ne contient aucun élément est appelé ensemble vide. Il se note \(\varnothing\).

Remarque · ordre et répétition

Un ensemble ne tient pas compte de l'ordre des éléments, et un même élément n'est écrit qu'une seule fois :

\[ \{1,2,3\}=\{3,1,2\}=\{1,1,2,3\}. \]

Définition · extension et compréhension

On peut définir un ensemble de deux manières :

1.En extension : on donne la liste de ses éléments.

2.En compréhension : on donne une propriété caractérisant ses éléments.

La notation générale en compréhension est

\[ E=\{x\in X\mid P(x)\}, \]

où \(X\) est un ensemble de référence et \(P(x)\) une propriété portant sur \(x\).

Exemple

Écrire en extension \(A=\{n\in\mathbb{N}\mid n<6\}\).

En prenant \(0\in\mathbb{N}\), on obtient

\[ A=\{0,1,2,3,4,5\}. \]

Autre exemple : écrire en extension \(B=\{x\in\mathbb{Z}\mid |2x-1|\leq 5\}\).

\[ |2x-1|\leq 5\iff -5\leq 2x-1\leq 5\iff -2\leq x\leq 3. \]

Comme \(x\in\mathbb{Z}\),

\[ \boxed{B=\{-2,-1,0,1,2,3\}}. \]

Exercice d'application

Énoncé

Écrire en extension les ensembles suivants :

\[ A=\{n\in\mathbb{N}\mid n^{2}\leq 30\},\qquad B=\{x\in\mathbb{Z}\mid -3< x\leq 4\}. \]

Puis écrire en compréhension \(C=\{-8,-4,0,4,8\}\).

Définition · égalité

Deux ensembles \(A\) et \(B\) sont égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments. On écrit \(A=B\) :

\[ \boxed{A=B\iff \forall x,\;(x\in A\iff x\in B).} \]

Méthode · double inclusion

Pour montrer que \(A=B\), on utilise souvent la double inclusion :

\[ A\subset B\quad\text{et}\quad B\subset A. \]

Exemple

Soient \(A=\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}-5x+6=0\}\) et \(B=\{2,3\}\). Comme \(x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\),

\[ x^{2}-5x+6=0\iff x=2\text{ ou }x=3, \]

donc \(\boxed{A=B}\).

Exercice d'application

Énoncé

Soient \(A=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-1|=2\}\) et \(B=\{-1,3\}\). Montrer que \(A=B\).

Inclusion et ensemble des parties

Définition · inclusion

Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles. On dit que \(A\) est inclus dans \(B\) si tout élément de \(A\) appartient à \(B\) :

\[ \boxed{A\subset B\iff \forall x,\;(x\in A\implies x\in B).} \]

\(A\subset B\) : le disque A est entièrement contenu dans le disque B.

Remarque · notation

Certains ouvrages utilisent \(A\subseteq B\) pour l'inclusion avec égalité possible. Dans ce chapitre, \(A\subset B\) signifie simplement « \(A\) est inclus dans \(B\) », l'égalité étant possible.

Propriété

•\(\varnothing\subset A\) ;

•\(A\subset A\) ;

•si \(A\subset B\) et \(B\subset C\), alors \(A\subset C\) ;

•\(A=B\iff (A\subset B\text{ et }B\subset A)\).

Remarque · négation

La négation de \(A\subset B\) est

\[ A\not\subset B\iff \exists x\;(x\in A\text{ et }x\notin B). \]

Pour montrer que \(A\not\subset B\), il suffit donc de trouver un contre-exemple : un élément de \(A\) qui n'appartient pas à \(B\).

Exemple

Montrer que \(A=\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}\leq 4\}\subset B=\{x\in\mathbb{R}\mid |x|\leq 3\}\).

Soit \(x\in A\). Alors \(x^{2}\leq 4\), donc \(|x|\leq 2\), puis \(|x|\leq 3\) : ainsi \(x\in B\).

\[ \boxed{A\subset B}. \]

Exercice d'application

Énoncé

Soient \(A=[-1,2]\), \(B=[-2,3]\), \(C=]-1,2[\). Déterminer les inclusions vraies entre \(A\), \(B\) et \(C\).

Définition · ensemble des parties

Soit \(E\) un ensemble. L'ensemble des parties de \(E\), noté \(\mathcal{P}(E)\), est l'ensemble de tous les sous-ensembles de \(E\) :

\[ \boxed{\mathcal{P}(E)=\{A\mid A\subset E\}.} \]

Ainsi \(A\subset E\iff A\in\mathcal{P}(E)\).

\(E=\{a,b,c\}\) : les 8 éléments de \(\mathcal{P}(E)\) apparaissent un à un.

Remarque

On a toujours \(\varnothing\in\mathcal{P}(E)\) et \(E\in\mathcal{P}(E)\). Attention : \(\varnothing\subset E\), alors que \(\varnothing\in E\) n'est pas toujours vrai.

Propriété · cardinal

Si un ensemble fini \(E\) possède \(n\) éléments, alors \(\mathcal{P}(E)\) possède \(2^{n}\) éléments. Ici \(8=2^{3}\).

Exercice d'application

Énoncé

Soit \(E=\{1,2\}\). Déterminer \(\mathcal{P}(E)\) puis \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(E))\).

Complémentaire d'une partie

Définition · complémentaire

Soit \(A\) une partie d'un ensemble de référence \(E\). Le complémentaire de \(A\) dans \(E\) est l'ensemble des éléments de \(E\) qui n'appartiennent pas à \(A\). On le note \(\overline{A}\) ou \(C_EA\) :

\[ \boxed{\overline{A}=\{x\in E\mid x\notin A\}.} \]

Le complémentaire Ā (en vert) est tout ce qui, dans \(E\), reste hors de \(A\).

Propriété \[ \overline{\overline{A}}=A,\qquad \overline{E}=\varnothing,\qquad \overline{\varnothing}=E. \]

Exemples

Si \(E=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) et \(A=\{2,4,6,8\}\), alors \(\boxed{\overline{A}=\{1,3,5,7\}}\).

Dans \(E=\mathbb{R}\), si \(A=[-2,3[\), alors \(\boxed{\overline{A}=]-\infty,-2[\,\cup\,[3,+\infty[}\).

Exercice d'application

Énoncé

Dans \(E=[-5,5]\), on considère \(A=]-2,3]\). Déterminer \(\overline{A}\).

Intersection et réunion

Définition · intersection

Soient \(A\) et \(B\) deux parties d'un ensemble \(E\). Leur intersection est l'ensemble des éléments appartenant à la fois à \(A\) et à \(B\) :

\[ \boxed{A\cap B=\{x\in E\mid x\in A\text{ et }x\in B\}.} \]

Deux ensembles sont dits disjoints lorsque \(A\cap B=\varnothing\).

Définition · réunion

Leur réunion est l'ensemble des éléments appartenant à \(A\) ou à \(B\) (éventuellement aux deux) :

\[ \boxed{A\cup B=\{x\in E\mid x\in A\text{ ou }x\in B\}.} \]

\(A\cap B\) : uniquement la zone commune aux deux disques.

\(A\cup B\) : tout ce qui est dans \(A\), dans \(B\), ou dans les deux.

Exemples

Si \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{3,4,5,6\}\), alors \(\boxed{A\cap B=\{3,4\}}\) et \(\boxed{A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}}\).

Si \(A=[-2,3]\), \(B=]1,5]\), alors \(\boxed{A\cap B=]1,3]}\) et \(\boxed{A\cup B=[-2,5]}\).

Exercice d'application

Énoncé

Soient \(A=]-3,2]\), \(B=[0,5[\). Déterminer \(A\cap B\) et \(A\cup B\).

Propriétés de calcul et lois de De Morgan

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois parties d'un même ensemble \(E\).

Propriétés fondamentales

Commutativité. \(A\cap B=B\cap A\), \(A\cup B=B\cup A\).

Associativité. \((A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)\), \((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\).

Idempotence. \(A\cap A=A\), \(A\cup A=A\).

Neutres / absorbants.

\[ A\cap E=A,\qquad A\cup\varnothing=A,\qquad A\cap\varnothing=\varnothing,\qquad A\cup E=E. \]

Distributivité.

\[ \boxed{A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)}, \] \[ \boxed{A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)}. \]

Caractérisations de l'inclusion.

\[ \boxed{A\subset B\iff A\cap B=A}\qquad\text{et}\qquad \boxed{A\subset B\iff A\cup B=B.} \]

Exemple · lois d'absorption

Comme \(A\subset A\cup B\), on a \(\boxed{A\cap(A\cup B)=A}\). De même, \(\boxed{A\cup(A\cap B)=A}\).

Théorème · lois de De Morgan \[ \boxed{\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}}\qquad\text{et}\qquad \boxed{\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}}. \]

\(\overline{A\cup B}\) : hors des deux disques — identique à \(\overline{A}\cap\overline{B}\).

\(\overline{A}\cup\overline{B}\) : la réunion des deux compléments recouvre tout sauf \(A\cap B\).

Démonstration

Montrons \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\). Pour tout \(x\in E\) :

\[ \begin{aligned} x\in\overline{A\cup B} &\iff x\notin A\cup B\\ &\iff (x\notin A\text{ et }x\notin B)\\ &\iff (x\in\overline{A}\text{ et }x\in\overline{B})\\ &\iff x\in\overline{A}\cap\overline{B}. \end{aligned} \]

La seconde loi se démontre de la même manière.

Propriété \[ A\subset B\iff \overline{B}\subset\overline{A}. \]

Exercice d'application

Énoncé

Simplifier \(X=(A\cap B)\cup(A\cap\overline{B})\) et \(Y=\overline{A\cup\overline{B}}\).

Différence de deux ensembles

Définition · différence

Soient \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\). La différence de \(A\) et \(B\), notée \(A\setminus B\), est l'ensemble des éléments de \(A\) qui n'appartiennent pas à \(B\) :

\[ \boxed{A\setminus B=\{x\in E\mid x\in A\text{ et }x\notin B\}.} \]

Propriété : \(\boxed{A\setminus B=A\cap\overline{B}.}\)

\(A\setminus B\) : ce qui est dans \(A\) mais pas dans \(B\).

\(B\setminus A\) : ce qui est dans \(B\) mais pas dans \(A\).

Remarque · non commutative

En général \(A\setminus B\neq B\setminus A\) : la différence n'est pas commutative, comme le montrent les deux figures ci-dessus.

Exemples

Si \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{2,4,6\}\), alors \(\boxed{A\setminus B=\{1,3,5\}}\) et \(\boxed{B\setminus A=\{6\}}\).

Si \(A=[-2,3]\), \(B=]1,5]\), alors \(\boxed{A\setminus B=[-2,1]}\) (le point \(1\) appartient à \(A\setminus B\) car \(1\notin B\)).

Propriété

Pour toutes parties \(A\) et \(B\) de \(E\) :

\[ A=(A\setminus B)\cup(A\cap B), \]

et les deux ensembles \(A\setminus B\) et \(A\cap B\) sont disjoints.

Exercice d'application

Énoncé

Soient \(A=]-4,3]\), \(B=[-1,5[\). Déterminer \(A\setminus B\) et \(B\setminus A\).

Produit cartésien

Définition · produit cartésien

Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles. Le produit cartésien de \(A\) par \(B\) est l'ensemble des couples \((x,y)\) tels que \(x\in A\) et \(y\in B\) :

\[ \boxed{A\times B=\{(x,y)\mid x\in A\text{ et }y\in B\}.} \]

Le produit \(A\times A\) est noté \(A^{2}\) : le carré cartésien de \(A\). En particulier, \(\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\).

\(A=\{1,2\}\), \(B=\{a,b,c\}\) : chaque point est un couple de \(A\times B\).

Remarque · ordre des couples

L'ordre est important dans un couple : en général \((x,y)\neq(y,x)\). Par conséquent, \(A\times B\neq B\times A\) en général.

Exemple

Soient \(A=\{1,2\}\), \(B=\{a,b,c\}\). Alors

\[ \boxed{A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)\}}, \]

tandis que \(B\times A=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}\).

Propriétés

Si \(A\) et \(B\) sont finis, alors \(\operatorname{card}(A\times B)=\operatorname{card}(A)\operatorname{card}(B)\).

\[ A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C), \] \[ A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C). \]

Exercice d'application

Énoncé

Soient \(A=\{-1,1\}\), \(B=\{0,2\}\).

1.Écrire \(A\times B\) et \(B\times A\) en extension.

2.Déterminer \(A^{2}\).

3.Les ensembles \(A\times B\) et \(B\times A\) sont-ils égaux ?

Exercices de synthèse

Cinq exercices pour croiser toutes les notions du chapitre. Choisis un onglet.

Ensembles d'entiers

Énoncé

Soient \(A=\{x\in\mathbb{Z}\mid |x-1|\leq 3\}\) et \(B=\{x\in\mathbb{Z}\mid x^{2}\leq 9\}\).

1.Écrire \(A\) et \(B\) en extension.

2.Déterminer \(A\cap B\), \(A\cup B\), \(A\setminus B\) et \(B\setminus A\).

À retenir

Appartenance et inclusion.

\[ A\subset B\iff \forall x,\;(x\in A\implies x\in B),\qquad \mathcal{P}(E)=\{A\mid A\subset E\} \]

Complémentaire.

\[ \overline{A}=\{x\in E\mid x\notin A\},\qquad \overline{\overline{A}}=A \]

Intersection, réunion, différence.

\[ A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ et }x\in B\},\qquad A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ ou }x\in B\} \] \[ A\setminus B=A\cap\overline{B} \]

Lois de De Morgan.

\[ \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B},\qquad \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B} \]

Produit cartésien.

\[ A\times B=\{(x,y)\mid x\in A\text{ et }y\in B\},\qquad \operatorname{card}(A\times B)=\operatorname{card}(A)\operatorname{card}(B) \]

Pour montrer \(A=B\) → double inclusion \(A\subset B\) et \(B\subset A\).
Pour montrer \(A\not\subset B\) → contre-exemple : un \(x\in A\) avec \(x\notin B\).
\(A\cap B=A\iff A\subset B\), et \(A\cup B=B\iff A\subset B\).
\(A\times B\neq B\times A\) en général : l'ordre du couple compte.

Exercice 1