Module 1 · DS 1

Devoir surveillé : Logique

Propositions, quantificateurs, raisonnement logique et sommes.

Niveau 1 Bac SM Module 1 Barème 20 points Exercices 4 Année 2026–2027

Consignes

Toute réponse doit être soigneusement justifiée. La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements seront prises en compte.

Exercice 1 · 5 points Propositions et quantificateurs

On considère les propositions :

\[ P_1 : \quad (\forall x\in\mathbb{R}) (\exists a\in\mathbb{R}) : \quad a+\cos^2\left(\frac{x}{2026}\right)=1 \] \[ P_2 : \quad (\exists \alpha\in\mathbb{R}^{*}) (\forall x\in\mathbb{R}) : \quad \sin(x+2026\alpha) = \sin x+2026\sin\alpha \]

Donner la négation des propositions \(P_1\) et \(P_2\).
Montrer que \(P_2\) est vraie et déterminer la valeur de vérité de \(P_1\).
Le réel \(\alpha\) défini dans \(P_2\) est-il unique ? Justifier votre réponse.

Exercice 2 · 6.5 points Logique et raisonnement

On considère la proposition :

\[ Q : \quad \left[ \neg (\forall x\in\mathbb{R}) (\forall y\in\mathbb{R}) : \left( xy \lt x+y \Rightarrow \left( x \lt 2 \;\text{ ou }\; y \lt 2 \right) \right) \right] \]

Donner la négation de la proposition \(Q\).
En utilisant un raisonnement par contraposée, montrer que \(Q\) est vraie.
On considère la proposition :

\[ R : \quad \left[ \neg (\forall x\in\mathbb{R}) (\forall y\in\mathbb{R}) : \left( \frac{x}{x^2+1} = \frac{y}{y^2+1} \Rightarrow x=y \right) \right] \]

Donner la négation \(\overline{R}\), puis déterminer la valeur de vérité de \(R\).
Montrer que : \[ (\forall y\in]2;+\infty[) (\exists !\,x\in]1;+\infty[) : \quad xy-1=2x+y \]
Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb{N}^{*}) : \quad 2027 \mid \left( 2026^{2n+1}+1 \right) \] On pourra utiliser \(2026=2027-1\).

Exercice 3 · 3 points Sommes

Pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose :

\[ S_n = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \cdots + \frac{2n}{2^{2n}} \]

Calculer \(S_1\) et exprimer \(S_n\) à l'aide du symbole \(\displaystyle\sum\).
Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb{N}^{*}) : \qquad S_n = 2- \frac{n+1}{2^{2n-1}} \]

Exercice 4 · 5.5 points Implication et contraposée

Soient \(a\) et \(b\) deux réels. On considère la proposition :

\[ Q : \quad \left[ (\forall \alpha\in\mathbb{R}_{+}^{*}) : \quad a \lt b+\alpha \right] \Longrightarrow (a\leq b) \]

Donner la négation de \(Q\).
Donner la contraposée de \(Q\).
Montrer que \(Q\) est vraie.

Bonus. Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs. Montrer que :

\[ \frac{a}{a^4+b^2} + \frac{b}{a^2+b^4} \leq \frac{1}{ab} \]

Fin de l'épreuve ZetaSpace · zetaspace.ma