Partie 4

Fonction réciproque & racine n^ième

Une fonction continue et strictement monotone ne repasse jamais deux fois par la même valeur : on peut donc remonter de l'image vers l'antécédent. C'est ce chemin inverse, noté $f^{-1}$, qui fabrique la fonction Arctangente et la racine $n^{\text{ième}}$.

Théorème de la fonction réciproque

Proposition

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors elle réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $f(I)$.

Méthode en 4 temps

① Vérifier la continuité de $f$ sur $I$.

② Étudier le signe de $f'$ pour établir la stricte monotonie.

③ Déterminer $J=f(I)$ à l'aide des limites aux bornes et du sens de variation.

④ Pour $x \in J$, résoudre $y=f^{-1}(x) \iff x=f(y)$ avec $y \in I$ — la condition $y \in I$ est ce qui départage les solutions.

Exemple

Énoncé

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $I=\left]-\infty;-1\right]$ par $f(x)=\dfrac{x^{2}+5}{x-2}$. Montrer que $f$ est une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à déterminer, puis calculer $f^{-1}(x)$ pour $x \in J$.

Solution

La fonction $f$ est continue et dérivable sur $I$ car c'est la restriction d'une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas sur $I$ ($2 \notin I$). Pour tout $x \in I$ :

\[ f'(x)=\frac{2x(x-2)-\left(x^{2}+5\right)}{(x-2)^{2}} =\frac{x^{2}-4x-5}{(x-2)^{2}} =\frac{(x+1)(x-5)}{(x-2)^{2}} \]

Pour $x \in \left]-\infty;-1\right[$ : $x+1<0$ et $x-5<0$, donc $f'(x)>0$.

Ainsi $f$ est continue et strictement croissante sur $I$ : c'est une bijection de $I$ sur l'intervalle

\[ J=f(I)=\left]\lim_{x\to-\infty}f(x)\ ;\ f(-1)\right]=\left]-\infty;-2\right] \]

Détermination de $f^{-1}(x)$. Soient $x \in J$ et $y \in I$ tels que $y=f^{-1}(x)$. On a :

\[ y=f^{-1}(x) \iff x=f(y) \iff \frac{y^{2}+5}{y-2}=x \iff y^{2}-xy+2x+5=0 \]

Le discriminant vaut $\Delta=x^{2}-4(2x+5)=x^{2}-8x-20$, positif sur $J$. Les deux racines sont :

\[ y_{1}=\frac{x-\sqrt{x^{2}-8x-20}}{2} \qquad\text{et}\qquad y_{2}=\frac{x+\sqrt{x^{2}-8x-20}}{2} \]

Or $y$ doit appartenir à $I$, c'est-à-dire $y+1 \leq 0$. Comme $x \leq -2$ on a $x+2\leq 0$, donc :

\[ y_{1}+1=\frac{x+2-\sqrt{x^{2}-8x-20}}{2}\leq 0 \]

En définitive : $\left(\forall x \in J\right),\ f^{-1}(x)=\dfrac{x-\sqrt{x^{2}-8x-20}}{2}$.

Propriétés de la fonction réciproque

Proposition

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors :

• la fonction réciproque $f^{-1}$ est continue sur $f(I)$ et a le même sens de variation que $f$ ;

• les courbes de $f$ et de $f^{-1}$, dans un repère orthonormé, sont symétriques par rapport à la première bissectrice, c'est-à-dire par rapport à la droite d'équation $y=x$.

Attention

$f^{-1}$ n'est pas $\dfrac{1}{f}$. L'écriture $f^{-1}$ désigne la bijection réciproque : elle vérifie $f^{-1}\big(f(x)\big)=x$ pour $x\in I$ et $f\big(f^{-1}(y)\big)=y$ pour $y\in f(I)$.

Applications

Dans chacun des cas suivants, montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à déterminer, puis déterminer une expression de $f^{-1}(x)$ pour $x \in J$.

Application 1

Énoncé

$f(x)=x^{2}-2x+5$ et $I=\left[1;+\infty\right[$.

La fonction Arctangente

Définition

La fonction $x\mapsto\tan x$ est une bijection de $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ sur $\mathbb{R}$. Sa fonction réciproque est appelée fonction Arctangente et on la note $\operatorname{Arctan}$.

Proposition

La fonction $\operatorname{Arctan}$ est définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$. On a de plus :

\[ \left(\forall x\in\mathbb{R}\right)\left(\forall y\in\left]-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right[\right)\ \left(\operatorname{Arctan}x=y \iff x=\tan y\right) \]

• Pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $\tan\left(\operatorname{Arctan}x\right)=x$.

• Pour tout $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ : $\operatorname{Arctan}\left(\tan x\right)=x$.

• $\operatorname{Arctan}$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ; pour tout $(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^{2}$ :

$$ \left(\operatorname{Arctan}x_{1}=\operatorname{Arctan}x_{2}\iff x_{1}=x_{2}\right) \text{ et } \left(\operatorname{Arctan}x_{1}<\operatorname{Arctan}x_{2}\iff x_{1} < x_{2}\right) $$

• $\operatorname{Arctan}$ est impaire : $\left(\forall x\in\mathbb{R}\right)\ \operatorname{Arctan}(-x)=-\operatorname{Arctan}x$.

• Limites usuelles :

\[ \lim_{x\to+\infty}\operatorname{Arctan}x=\frac{\pi}{2},\qquad \lim_{x\to-\infty}\operatorname{Arctan}x=-\frac{\pi}{2},\qquad \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{Arctan}x}{x}=1 \]

▸ $\operatorname{Arctan}0=0$.

▸ $\operatorname{Arctan}\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\pi}{6}$.

▸ $\operatorname{Arctan}1=\dfrac{\pi}{4}$.

▸ $\operatorname{Arctan}\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{3}$.

Valeurs à connaître

Elles se lisent directement sur le tableau des tangentes usuelles, en sens inverse.

Courbe de Arctan

Deux asymptotes horizontales $y=\pm\dfrac{\pi}{2}$, et le reflet de $\tan$ dans le miroir $y=x$.

croissante sur ℝ

Exemples

Exemple 1

Énoncé

Calculer $\operatorname{Arctan}\left(\tan\dfrac{101\pi}{4}\right)$.

Solution

On sait que si $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ alors $\operatorname{Arctan}(\tan x)=x$. On ramène donc l'angle dans cet intervalle.

Puisque $\dfrac{101\pi}{4}=25\pi+\dfrac{\pi}{4}$, que la fonction $\tan$ est périodique de période $\pi$ et que $\dfrac{\pi}{4}\in\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ :

\[ \operatorname{Arctan}\left(\tan\frac{101\pi}{4}\right) =\operatorname{Arctan}\left(\tan\left(25\pi+\frac{\pi}{4}\right)\right) =\operatorname{Arctan}\left(\tan\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4} \]

Applications — Arctangente

Application 1

Énoncé

Déterminer le domaine de définition de la fonction $f:x\mapsto\tan\left(2\operatorname{Arctan}x\right)$, puis donner une expression simplifiée de $f(x)$.

La fonction racine n^ième

Définition

Soit $n$ un entier naturel non nul. La fonction $x\mapsto x^{n}$ réalise une bijection de $\mathbb{R}^{+}$ sur $\mathbb{R}^{+}$. Sa fonction réciproque est appelée la fonction racine $n^{\text{ième}}$ et on la note $\sqrt[n]{\ \ }$.

Pour tout $x\in\mathbb{R}^{+}$, $\sqrt[n]{x}$ se lit « racine $n^{\text{ième}}$ de $x$ ».

Choisis $n$ n = 3 → ⁿ√8 = 2

Les deux courbes se croisent toujours au point $(1,1)$ et se déduisent l'une de l'autre par la symétrie d'axe $y=x$ : c'est la Proposition ci-dessus à l'œuvre.

Proposition

Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$. On a alors, pour tous $x$ et $y$ de $\mathbb{R}^{+}$ :

\[ \sqrt[n]{x}=y\iff y^{n}=x \ ;\qquad \sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{y}\iff x=y \ ;\qquad \sqrt[n]{x}<\sqrt[n]{y}\iff xOn a de plus, pour tout $x\in\mathbb{R}^{+}$ :

\[ \sqrt[n]{x^{n}}=\left(\sqrt[n]{x}\right)^{n}=x \]

Enfin, la fonction $x\mapsto\sqrt[n]{x}$ est continue sur $\mathbb{R}^{+}$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt[n]{x}=+\infty$.

Remarque · résolution de $x^{n}=a$

Soit $a$ un réel non nul et $n\in\mathbb{N}^{*}-\{1\}$. L'ensemble des solutions de l'équation $x^{n}=a$ dépend du signe de $a$ et de la parité de $n$.

▸ Si $a>0$ et $n$ pair : $S=\left\{-\sqrt[n]{a}\ ;\ \sqrt[n]{a}\right\}$.

▸ Si $a>0$ et $n$ impair : $S=\left\{\sqrt[n]{a}\right\}$.

▸ Si $a<0$ et $n$ pair : $S=\varnothing$.

▸ Si $a<0$ et $n$ impair : $S=\left\{-\sqrt[n]{-a}\right\}$.

Retenir : $\sqrt[n]{\ }$ n'est définie que sur $\mathbb{R}^{+}$ ; pour $n$ impair on sort le signe, on ne le met pas sous le radical.

Proposition

Soient $a$ et $b$ deux réels positifs, et $p$ et $n$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à $2$. On a alors les propriétés suivantes :

\[ \sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab} \ ;\qquad \sqrt[n]{\frac{1}{a}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a}}\ \ (a\neq 0) \ ;\qquad \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\ \ (b\neq 0) \] \[ \sqrt[np]{a^{p}}=\sqrt[n]{a} \ ;\qquad \sqrt[n]{\sqrt[p]{a}}=\sqrt[np]{a} \ ;\qquad \left(\sqrt[n]{a}\right)^{p}=\sqrt[n]{a^{p}} \]

Exemple

Énoncé

Simplifier le nombre $A=\dfrac{\sqrt[4]{32}\times\sqrt[6]{27}\times\sqrt[4]{108}}{\sqrt{\sqrt[4]{144}}}$.

Solution

On décompose chaque nombre en facteurs premiers :

\[ A=\frac{\sqrt[4]{2^{5}}\times\sqrt[6]{3^{3}}\times\sqrt[4]{2^{2}\times 3^{3}}}{\sqrt[8]{2^{4}\times 3^{2}}} =\frac{\sqrt[4]{2^{4}\times 2}\times\sqrt{3}\times\sqrt[4]{2^{2}\times 3^{3}}}{\sqrt[4]{2^{2}\times 3}} \] \[ =\frac{2\sqrt[4]{2}\times\sqrt{3}\times\sqrt[4]{2^{2}\times 3^{3}}}{\sqrt[4]{2^{2}\times 3}} =2\sqrt{3}\times\sqrt[4]{\frac{2\times 2^{2}\times 3^{3}}{2^{2}\times 3}} =2\sqrt{3}\times\sqrt[4]{2\times 3^{2}} \]

Et comme $\sqrt{3}=\sqrt[4]{3^{2}}$, on obtient $A=2\sqrt[4]{2\times 3^{4}}=2\times 3\times\sqrt[4]{2}=\mathbf{6\sqrt[4]{2}}$.

Continuité et limites avec $\sqrt[n]{\ \ }$

Proposition

Soit $u$ une fonction positive sur un intervalle ouvert $I$ et $x_{0}\in I$.

• Si $u$ est continue sur $I$, alors la fonction $\sqrt[n]{u}$ est continue sur $I$.

• Si $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}u(x)=\ell$ alors $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\sqrt[n]{u(x)}=\sqrt[n]{\ell}$.

• Si $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}u(x)=+\infty$ alors $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\sqrt[n]{u(x)}=+\infty$.

Exemple 1

Énoncé

Étudier la continuité de la fonction $f:x\mapsto\sqrt[3]{\operatorname{Arctan}x}$ sur $\mathbb{R}^{+}$.

Solution

La fonction $\operatorname{Arctan}$ est continue et positive sur $\mathbb{R}^{+}$ (car $\operatorname{Arctan}$ est croissante et $\operatorname{Arctan}0=0$). D'après la Proposition, $f$ est donc continue sur $\mathbb{R}^{+}$.

Applications — racine n^ième

Application 1

Énoncé

Simplifier $A=\dfrac{\sqrt[3]{\sqrt{64}}\times\sqrt[4]{16}}{\sqrt{\sqrt[3]{8}}}$.

Puissance rationnelle d'un réel strictement positif

Définition

Soit $a$ un réel strictement positif et $r$ un nombre rationnel. On pose $r=\dfrac{p}{q}$ avec $p\in\mathbb{Z}$ et $q\in\mathbb{N}^{*}$.

Le nombre $a^{r}$ est le nombre $\sqrt[q]{a^{p}}$. Ce nombre est appelé la puissance rationnelle de $a$ d'exposant $r$.

Remarque

Soit $a$ un réel strictement positif et $n\in\mathbb{N}^{*}-\{1\}$. On a :

\[ \sqrt{a}=\sqrt[2]{a}=a^{\frac{1}{2}} \ ,\qquad \sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}} \qquad\text{et de façon générale}\qquad \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} \]

Proposition

Soient $r$ et $r'$ deux nombres rationnels, et $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Alors on a les égalités suivantes :

\[ a^{r}\times a^{r'}=a^{r+r'} \ ;\qquad (ab)^{r}=a^{r}b^{r} \ ;\qquad \left(a^{r}\right)^{r'}=a^{rr'} \ ;\qquad a^{-r}=\frac{1}{a^{r}} \] \[ \left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}} \ ;\qquad \frac{a^{r}}{a^{r'}}=a^{r-r'} \]

Exemple

Énoncé

Simplifier le nombre $A=\dfrac{\sqrt[4]{32}\times\sqrt[6]{27}\times\sqrt[4]{108}}{\sqrt[4]{6}}$ en utilisant les puissances rationnelles.

Solution \[ A=\frac{\left(2^{5}\right)^{\frac{1}{4}}\times\left(3^{3}\right)^{\frac{1}{6}} \times\left(2^{2}\times 3^{3}\right)^{\frac{1}{4}}}{(2\times 3)^{\frac{1}{4}}} =\frac{2^{\frac{5}{4}}\times 3^{\frac{1}{2}}\times 2^{\frac{1}{2}}\times 3^{\frac{3}{4}}} {2^{\frac{1}{4}}\times 3^{\frac{1}{4}}} \] \[ =2^{\frac{5}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}\times 3^{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{1}{4}} =2^{\frac{3}{2}}\times 3=2\sqrt{2}\times 3=6\sqrt{2} \]

Application 1

Énoncé

Simplifier les nombres suivants :

\[ X=\frac{(125)^{\frac{2}{9}}\times(625)^{\frac{1}{4}}\times(25)^{\frac{5}{2}}}{5^{\frac{17}{3}}} \qquad\text{et}\qquad Y=\frac{8^{\frac{2}{3}}\times 27^{-\frac{1}{3}}}{6^{-1}\times 4^{\frac{1}{2}}} \]

Résumé

$f$ continue et strictement monotone sur $I$ $\Longrightarrow$ $f$ est une bijection de $I$ sur l'intervalle $J=f(I)$.
$f^{-1}$ est continue sur $J$, a le même sens de variation que $f$, et $\mathscr{C}_{f^{-1}}$ est le symétrique de $\mathscr{C}_{f}$ par rapport à $y=x$.
Méthode : $y=f^{-1}(x)\iff x=f(y)$ avec $y\in I$ — c'est cette condition qui choisit la bonne racine.
$\operatorname{Arctan}$ : réciproque de $\tan$ sur $\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[$, impaire, strictement croissante sur $\mathbb{R}$, $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\operatorname{Arctan}x=\pm\frac{\pi}{2}$ et $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{Arctan}x}{x}=1$.
$\operatorname{Arctan}(\tan x)=x$ seulement si $x\in\left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[$ : il faut d'abord ramener l'angle.
$\sqrt[n]{\ }$ : réciproque de $x\mapsto x^{n}$ sur $\mathbb{R}^{+}$, continue et strictement croissante ; $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ pour $a>0$.
Pour $x^{n}=a$, tout dépend du signe de $a$ et de la parité de $n$ — voir le tableau.

Fonction réciproque & racine nième

Théorème de la fonction réciproque

Propriétés de la fonction réciproque

Applications

La fonction Arctangente

Valeurs à connaître

Courbe de Arctan

Exemples

Applications — Arctangente

La fonction racine nième

Continuité et limites avec \(\sqrt[n]{\ \ }\)

Applications — racine nième

Puissance rationnelle d'un réel strictement positif

Fonction réciproque & racine n^ième

La fonction racine n^ième

Applications — racine n^ième

Fonction réciproque & racine n-ième