Partie 3

Suites récurrentes & suites adjacentes

Deux idées qui referment le chapitre : quand \(u_{n+1}=f(u_n)\), la limite — si elle existe — est forcément un point fixe de \(f\) ; et deux suites qui se rapprochent l'une de l'autre sans jamais se croiser convergent toujours vers la même limite.

Suites de la forme u_n+1 = f(u_n)

Proposition 12

Soit \(f\) continue sur un intervalle \(I\) tel que \(f(I)\subset I\), et \((u_n)\) définie par \(u_{n_0}\in I\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\).

Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\), et si \(\ell\in I\), alors \(\ell\) est solution dans \(I\) de l'équation \(f(x)=x\).

Méthode

① Vérifier que \(f\) est continue sur \(I\) et que \(f(I)\subset I\) : l'intervalle est stable.

② Montrer par récurrence que \(u_n\in I\) pour tout \(n\), puis étudier la monotonie de \((u_n)\).

③ Croissante majorée (ou décroissante minorée) \(\Rightarrow\) convergente, d'après le théorème de la convergence monotone.

④ La limite \(\ell\) est alors solution de \(f(x)=x\) dans \(I\) : il ne reste qu'à trancher entre les racines.

Visualiseur · toile d'araignée

\(u_0=0,\quad u_{n+1}=f(u_n)=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2}}\) sur \(I=[0;1]\). Avance le curseur : chaque marche relie \((u_n,u_n)\) à la courbe puis à la droite \(y=x\), et la suite grimpe vers son point fixe \(\ell=1\).

n n = 3 · u₃ ≈ 0.981

Suites de la forme v_n = f(u_n)

Proposition 13

Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors la suite \((v_n)\) définie par \(v_n=f(u_n)\) converge, et :

\[ \lim_{n\to+\infty}v_n=f(\ell) \]

Exemple

\(v_n=\tan\!\left(\dfrac{\pi n+1}{3n+2}\right)\). On pose \(u_n=\dfrac{\pi n+1}{3n+2}\), de sorte que \(v_n=f(u_n)\) avec \(f(x)=\tan x\).

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}\frac{\pi+\frac{1}{n}}{3+\frac{2}{n}}=\frac{\pi}{3} \]

\(f=\tan\) est continue en \(\dfrac{\pi}{3}\), donc :

\[ \lim_{n\to+\infty}v_n=f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3} \]

Suites adjacentes

Définition 8

\((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et si :

\[ \lim_{n\to+\infty}(v_n-u_n)=0 \]

\((u_n)\) monte, \((v_n)\) descend, l'écart s'efface : les deux se resserrent sur une limite commune.

Exemple

\(u_n=-\dfrac{2}{n}\) est croissante, \(v_n=\dfrac{1}{n}\) est décroissante, et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(v_n-u_n)=\lim_{n\to+\infty}\frac{3}{n}=0\) : les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes.

Proposition 14

Deux suites adjacentes sont toutes les deux convergentes, et ont la même limite.

Idée de preuve : \((u_n)\) croissante, \((v_n)\) décroissante, \(v_n-u_n\to 0^{+}\Rightarrow u_n\leq v_n\). Donc \((u_n)\) est majorée par \(v_0\), \((v_n)\) minorée par \(u_0\) : les deux convergent. Comme \(v_n-u_n\to 0\), leurs limites coïncident.

Exemples

Exemple 1 — limite finie

\(u_n=\sqrt[4]{\dfrac{24n^{4}-n+1}{3n^{4}-n^{2}-7}}\). On met \(n^{4}\) en facteur :

\[ \frac{24n^{4}-n+1}{3n^{4}-n^{2}-7}=\frac{24-\frac{1}{n^{3}}+\frac{1}{n^{4}}}{3-\frac{1}{n^{2}}-\frac{7}{n^{4}}}\ \longrightarrow\ \frac{24}{3}=8 \]

La fonction \(x\mapsto\sqrt[4]{x}\) est continue en \(8\), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\sqrt[4]{8}\).

Applications

Application 1 · convergence vers un point fixe

Énoncé

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2}}\).

Étudier la convergence de \((u_n)\) et déterminer sa limite.

Résumé

\(u_{n+1}=f(u_n)\) avec \(f\) continue et \(I\) stable : la limite, si elle existe, résout \(f(x)=x\) dans \(I\).
Méthode : intervalle stable → bornée par récurrence → monotonie → convergence (théorème de la convergence monotone) → point fixe.
\(v_n=f(u_n)\) avec \(f\) continue en \(\lim u_n\) : \(\lim v_n=f(\lim u_n)\).
Adjacentes = l'une croissante, l'autre décroissante, écart \(\to 0\) \(\Rightarrow\) convergentes vers la même limite.