Partie 1

Dérivabilité d'une fonction numérique

Le nombre dérivé mesure la vitesse instantanée de variation d'une fonction en un point : on l'obtient comme limite d'un taux d'accroissement, lorsque la sécante devient tangente.

Dérivabilité en un point

Définition

Soient \(I\) un intervalle ouvert, \(f:I\to\mathbb{R}\) et \(x_0\in I\).

\[ f\text{ est dérivable en }x_0 \iff \exists\ell\in\mathbb{R},\quad \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell. \]

Alors \(f'(x_0)=\ell\). Équivalemment,

\[ f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h. \]

On rencontre aussi \(\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0)\) (ou \(\dot f(x_0)\) lorsque la variable est le temps). La dérivabilité est une notion locale.

M → A

M se rapproche de A : la sécante \((AM)\) tend vers la tangente en A. Le coefficient directeur de la sécante \((AM)\) est le taux d'accroissement \(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) : sa limite, quand \(x\to x_0\), est le nombre dérivé \(f'(x_0)\).

Tangente et approximation affine

Définition

Si \(f\) est dérivable en \(x_0\), la tangente à \(\mathscr{C}_f\) au point d'abscisse \(x_0\) a pour équation

\[ (T):\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0). \]

L'application \(x\mapsto f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\) est l'approximation affine de \(f\) au voisinage de \(x_0\) :

\[ f(x)\simeq f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),\qquad f(x_0+h)\simeq f(x_0)+hf'(x_0)\quad(h\to0). \]

Dérivabilité à droite et à gauche

Définition

Pour \(r>0\) :

\[ \begin{aligned} f\text{ dérivable à droite en }x_0 &\iff \exists\ell_1\in\mathbb{R},\ \lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell_1=f'_d(x_0),\\ f\text{ dérivable à gauche en }x_0 &\iff \exists\ell_2\in\mathbb{R},\ \lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\ell_2=f'_g(x_0). \end{aligned} \]

La première assertion suppose \(f\) définie sur \([x_0,x_0+r[\), la seconde sur \(]x_0-r,x_0]\).

Proposition

Si \(I\) est ouvert et \(x_0\in I\), alors

\[ f\text{ dérivable en }x_0\iff f'_d(x_0)\text{ et }f'_g(x_0)\text{ existent et }f'_d(x_0)=f'_g(x_0), \]

et, dans ce cas, \(f'(x_0)=f'_d(x_0)=f'_g(x_0)\).

Point anguleux en \(x_0=1\) : \(f'_d(1)=0\) (demi-tangente horizontale) tandis que \(f'_g(1)=-\infty\) (demi-tangente verticale) — les deux nombres dérivés latéraux diffèrent, donc \(f\) n'est pas dérivable en \(1\).

Exemple

Énoncé

Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par

\[ f(x)=\begin{cases}(x-1)^2\sin\!\left(\dfrac1{x-1}\right),&x>1,\\ \sin\sqrt{1-x},&x\le1, \end{cases} \qquad f(1)=0. \]

Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(1\).

Solution

À droite :

\[ \left|(x-1)\sin\!\left(\frac1{x-1}\right)\right|\le|x-1|\xrightarrow[x\to1^+]{}0 \Rightarrow f'_d(1)=0. \]

À gauche, en posant \(X=\sqrt{1-x}\) :

\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-\frac{\sin X}{X}\cdot\frac1X\xrightarrow[x\to1^-]{}-\infty. \]

Conclusion : \(f\) n'est pas dérivable à gauche en \(1\), donc n'est pas dérivable en \(1\). La courbe admet une demi-tangente horizontale à droite et une demi-tangente verticale, dirigée vers le haut, à gauche.

Dérivabilité sur un intervalle

Définition

Soient \(I\) un intervalle et \(f:I\to\mathbb{R}\).

\[ f\text{ est dérivable sur }I\iff \forall x\in I,\ f\text{ est dérivable en }x. \]

La fonction \(f':x\mapsto f'(x)\) est la fonction dérivée de \(f\) ; on note aussi \(f'=\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\).

Dérivées usuelles

\(f(x)\)	\(f'(x)\)	Domaine de dérivabilité
\(a\)	\(0\)	\(\mathbb{R}\)
\(ax\)	\(a\)	\(\mathbb{R}\)
\(x^n\ (n\in\mathbb{N}^*)\)	\(nx^{n-1}\)	\(\mathbb{R}\)
\(1/x\)	\(-1/x^2\)	\(\mathbb{R}^*\)
\(\sqrt{x}\)	\(1/(2\sqrt{x})\)	\(\mathbb{R}_+^*\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)	\(\mathbb{R}\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)	\(\mathbb{R}\)
\(\tan x\)	\(1+\tan^2x=1/\cos^2x\)	\(\mathbb{R}\setminus\{\frac\pi2+k\pi:k\in\mathbb{Z}\}\)
\(\sin(ax+b)\)	\(a\cos(ax+b)\)	\(\mathbb{R}\)
\(\cos(ax+b)\)	\(-a\sin(ax+b)\)	\(\mathbb{R}\)

Opérations sur les fonctions dérivables

Proposition

Si \(f,g\) sont dérivables sur \(I\), \(\alpha\in\mathbb{R}\) et \(n\in\mathbb{N}^*\), alors

\[ (f+g)'=f'+g',\quad(\alpha f)'=\alpha f',\quad(fg)'=f'g+fg',\quad(f^n)'=nf'f^{n-1}. \]

Si \(\forall x\in I,\ g(x)\ne0\), alors

\[ \left(\frac1g\right)'=-\frac{g'}{g^2},\qquad \left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}. \]

Si \(\forall x\in I,\ f(x)>0\), alors \(\displaystyle(\sqrt f)'=\frac{f'}{2\sqrt f}\).