Partie 2

Compléments sur la dérivation

Une fois la dérivabilité en un point acquise, on la relie à la continuité, puis on apprend à dériver une composée, une réciproque, l'arctangente et une racine.

Dérivabilité et continuité

Proposition \[ f\text{ dérivable en }x_0\Rightarrow f\text{ continue en }x_0. \]

Donc \(f\) dérivable sur \(I\Rightarrow f\) continue sur \(I\). La réciproque est fausse : \(x\mapsto|x|\) est continue en \(0\) mais non dérivable en \(0\).

\(x\mapsto|x|\) : les deux demi-tangentes en \(0\) ont des pentes opposées (\(-1\) et \(1\)) ; la courbe est continue mais présente un point anguleux, donc \(f\) n'est pas dérivable en \(0\).

Dérivée d'une fonction composée

Proposition et corollaire

Soient \(f:I\to\mathbb{R}\), \(g:J\to\mathbb{R}\), \(f(I)\subset J\) et \(x_0\in I\).

\[ f\text{ dérivable en }x_0\ \wedge\ g\text{ dérivable en }f(x_0) \Rightarrow (g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))f'(x_0). \]

Ainsi, si \(f\) est dérivable sur \(I\) et \(g\) sur \(J\), alors

\[ \forall x\in I,\qquad(g\circ f)'(x)=f'(x)g'(f(x)). \]

Exemples

Énoncé

Calculer les fonctions dérivées de \(U(x)=\cos\sqrt{x^2+4}\) sur \(\mathbb{R}\) et \(V(x)=\tan\dfrac{\pi}{x}\) sur \(]2,3[\).

Solution \[ U(x)=\cos\sqrt{x^2+4}\Rightarrow U'(x)=-\frac{x\sin\sqrt{x^2+4}}{\sqrt{x^2+4}}\quad(x\in\mathbb{R}). \]

Pour \(x\in]2,3[\) :

\[ V(x)=\tan\frac{\pi}{x}\Rightarrow V'(x)=-\frac{\pi}{x^2}\left(1+\tan^2\frac\pi x\right). \]

Application · fonctions composées

Énoncé

1.Calculer la fonction dérivée de \(f(x)=\sin(x\cos x)\).

2.Calculer la fonction dérivée de \(g(x)=\sin(x\sqrt x)+\cos(x^3)\) sur \([0,+\infty[\).

Dérivée d'une fonction réciproque

Proposition et corollaire

Soit \(f\) continue et strictement monotone sur \(I\), \(x_0\in I\) et \(y_0=f(x_0)\).

\[ f\text{ dérivable en }x_0\ \wedge\ f'(x_0)\ne0 \Rightarrow (f^{-1})'(y_0)=\frac1{f'(x_0)}. \]

Si \(\forall x\in I,\ f'(x)\ne0\) et \(J=f(I)\), alors

\[ \forall y\in J,\qquad(f^{-1})'(y)=\frac1{f'(f^{-1}(y))}. \]

Exemple

Énoncé

Soit \(f:[0,1]\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x\cos x\). Calculer \((f^{-1})'\!\left(\dfrac{\pi\sqrt3}{12}\right)\).

Solution \[ \forall x\in[0,1],\quad f'(x)=\cos x-x\sin x>0, \]

donc \(f\) est strictement croissante et réalise une bijection de \([0,1]\) sur \([0,\cos1]\). Comme

\[ f\!\left(\frac\pi6\right)=\frac{\pi\sqrt3}{12},\qquad f'\!\left(\frac\pi6\right)=\frac{6\sqrt3-\pi}{12}\ne0, \]

alors

\[ (f^{-1})'\!\left(\frac{\pi\sqrt3}{12}\right)=\frac{12}{6\sqrt3-\pi}. \]

Application · fonction réciproque

Énoncé

1.Soit \(f(x)=\sqrt{x^2+1}-x\). Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque de \(\mathbb{R}\) sur \(]0,+\infty[\), puis calculer \((f^{-1})'(1)\).

2.Soit \(g:[1,+\infty[\to\mathbb{R}\), \(g(x)=x^3-3x-3\). Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \([1,+\infty[\) sur \([-5,+\infty[\), qu'elle s'annule en un unique \(\alpha\in]1,3[\), puis exprimer \((g^{-1})'(0)\).

Dérivée de la racine \(n\)-ième et d'une puissance rationnelle

Propositions

Soit \(n\in\mathbb{N}\), \(n\ge2\). Pour tout \(x>0\),

\[ (\sqrt[n]{x})'=\frac1{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}. \]

Si \(u\) est dérivable et strictement positive sur \(I\), alors

\[ (\sqrt[n]{u})'=\frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}. \]

Pour \(r\in\mathbb{Q}^*\), \(x\mapsto x^r\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) et \((x^r)'=rx^{r-1}\). Si \(u > 0\) sur \(I\),

\[ (u^r)'=ru'u^{r-1}. \]

Ces formules résultent du théorème de dérivation d'une réciproque, puis de la dérivation d'une composée.

Exemple

Énoncé

Calculer la dérivée de \(F(x)=(x^2+x+3)^{5/7}\).

Solution

Comme \(x^2+x+3>0\),

\[ \forall x\in\mathbb{R},\quad F'(x)=\frac{5(2x+1)}{7\sqrt[7]{(x^2+x+3)^2}}. \]

Applications · racines

Énoncé

1.\(f(x)=\sqrt[4]{3+\cos^2x}\)

2.\(g(x)=x\sqrt[3]{x^2-x}\), pour \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\)

3.\(h(x)=\sin\sqrt{x^2+x+1}\)

4.\(k(x)=\sqrt[3]{(x^2-1)^2}\), pour \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\)

Calculer, pour chacune, la fonction dérivée.

Applications · puissances rationnelles

Énoncé

1.\(f(x)=(3-\cos2x)^{1/3}\), sur \(\mathbb{R}\)

2.\(g(x)=(\sqrt x+\sqrt[3]x)^{1/3}\), sur \(]0,+\infty[\)

Calculer, pour chacune, la fonction dérivée.