Rappel · Partie 1

Les suites numériques

les définitions et propriétés essentielles — suites bornées, suites monotones, suites arithmétiques et géométriques.

Suites majorées, minorées, bornées

Définition

La suite \((u_n)\) est majorée s'il existe un réel \(M\) tel que \(\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\leq M\).

La suite \((u_n)\) est minorée s'il existe un réel \(m\) tel que \(\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\geq m\).

La suite \((u_n)\) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

1Majorée

Les termes montent mais ne franchissent jamais la droite \(u_n=M\).

u_n ≤ M

2Minorée

Les termes descendent mais restent toujours au-dessus de \(u_n=m\).

u_n ≥ m

3Bornée

Comme \(\cos(n)\) ou \((-1)^n\) : coincée entre deux droites, elle oscille sans jamais sortir.

m ≤ u_n ≤ M

Méthode · majorer par récurrence

Pour montrer que \((u_n)\) est majorée par un réel \(M\), on suit toujours le même schéma :

① Initialisation — vérifier \(u_0\leq M\).

② Hérédité — supposer \(u_k\leq M\) et en déduire \(u_{k+1}\leq M\) en appliquant la relation de récurrence à l'inégalité.

③ Conclusion — d'après le principe de récurrence, \(u_n\leq M\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

Visualiseur

\(u_0=2,\quad u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2\) — déplace le curseur et regarde \(u_n\) se rapprocher de sa borne \(M=3\) sans jamais la dépasser.

n n = 6 · u₆ ≈ 2.97

Monotonie d'une suite

Propriété

Soit \((u_n)\) une suite numérique.

Si \(u_{n+1}>u_n\) pour tout \(n\), alors \((u_n)\) est croissante.

Si \(u_{n+1}décroissante.

1Croissante

Exemple : \(u_n=n\). Chaque marche monte : \(u_{n+1}-u_n=1>0\).

u_(n+1) > u_n

2Décroissante

Exemple : \(u_n=\dfrac{1}{n+1}\). Chaque marche descend, sans jamais remonter.

u_(n+1) < u_n

Suite arithmétique

Définition

\((u_n)\) est une suite arithmétique s'il existe un nombre \(r\) — la raison — tel que pour tout \(n\) :

\[ u_{n+1}=u_n+r \]

Propriété

Pour une suite arithmétique de raison \(r\), de premier terme \(u_p\), et pour tout \(n\geq p\) :

\[ u_n=u_p+(n-p)r \] \[ u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=\frac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2} \]

La somme, c'est toujours « nombre de termes » \(\times\) « moyenne du premier et du dernier ».

Des points parfaitement alignés : d'un terme à l'autre, on ajoute toujours \(r\).

Exemple résolu

\(u_0=5\), \(r=3\). Alors \(u_{10}=u_0+10r=5+30=35\), et

\[ u_0+u_1+\cdots+u_{10}=\frac{(11)(5+35)}{2}=220 \]

Suite géométrique

Définition

\((u_n)\) est une suite géométrique s'il existe un nombre \(q\) — la raison — tel que pour tout \(n\) :

\[ u_{n+1}=q\,u_n \]

Propriété

Pour une suite géométrique de raison \(q\), de premier terme \(u_p\), et pour tout \(n\geq p\) :

\[ u_n=u_p\,q^{\,n-p} \] \[ u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=u_p\cdot\frac{1-q^{\,n-p+1}}{1-q}\quad(q\neq 1) \] \[ u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=u_p(n-p+1)\quad(q=1) \]

\(q>1\) : la progression s'accélère. \(0

Exemple résolu

\(u_0=2\), \(q=1{,}5\). Alors \(u_8=2\times1{,}5^{8}\approx51{,}26\), et

\[ u_0+u_1+\cdots+u_8=2\cdot\frac{1-1{,}5^{9}}{1-1{,}5}\approx253{,}5 \]

Applications

Application 1 · majorer par récurrence

Énoncé

On considère \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2\).

Démontrer par récurrence que \((u_n)\) est majorée par \(3\).