Résumé

Les suites — tout le chapitre en une page

Synthèse des trois parties : suites numériques (bornées, monotones, arithmétiques, géométriques), limites de suites (convergence, opérations, gendarmes), puis suites récurrentes \(u_{n+1}=f(u_n)\) .

Suites numériques : bornée, monotone, arithmétique, géométrique

Partie 1

Majorée / minorée / bornée

\(\forall n,\ u_n\leq M\) (majorée), \(u_n\geq m\) (minorée). Bornée = les deux à la fois.

Monotonie

\(u_{n+1}>u_n\Rightarrow\) croissante ; \(u_{n+1}

Arithmétique (raison r)

\[ u_{n+1}=u_n+r,\quad u_n=u_p+(n-p)r \] \[ \textstyle\sum=\dfrac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2} \]

Géométrique (raison q)

\[ u_{n+1}=q\,u_n,\quad u_n=u_p\,q^{\,n-p} \] \[ \textstyle\sum=u_p\dfrac{1-q^{\,n-p+1}}{1-q}\ (q\neq1) \]

Méthode · majorer / minorer par récurrence

Initialisation — vérifier la propriété au premier rang.
Hérédité — supposer \(u_k\leq M\), en déduire \(u_{k+1}\leq M\) via la relation de récurrence.
Conclusion — principe de récurrence : vrai pour tout \(n\).

Limites de suites : convergence, opérations, comparaison

Partie 2

Définitions clés

Limite infinie — tout intervalle \(]A,+\infty[\) contient tous les \(u_n\) à partir d'un rang \(N\).

Convergence — \((u_n)\to\ell\) si tout intervalle \(]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[\) contient tous les \(u_n\) à partir d'un rang \(N\) : \(|u_n-\ell|<\varepsilon\).

Convergente \(\Rightarrow\) bornée (pas la réciproque : \((-1)^n\) est bornée, non convergente).

Formes indéterminées
Type	+∞ − ∞	0 × ∞	∞ / ∞	0 / 0
À faire	factoriser par le terme dominant, ou quantité conjuguée

Convergence monotone

Croissante & majorée \(\Rightarrow\) convergente. Décroissante & minorée \(\Rightarrow\) convergente. (Existence, pas la valeur.)

Non majorée / non minorée

Croissante non majorée \(\Rightarrow+\infty\). Décroissante non minorée \(\Rightarrow-\infty\).

Théorème des gendarmes

\(v_n\leq u_n\leq w_n\) et \(\lim v_n=\lim w_n=\ell\ \Rightarrow\ \lim u_n=\ell\).

Limites de \(q^n\)

\(+\infty\) si \(q >1\) · \(0\) si \(-1 < q <1\) · \(1\) si \(q=1\) · pas de limite si \(q\leq-1\).

Suites récurrentes u_n+1=f(u_n)

Partie 3

Point fixe

Si \(f\) continue sur \(I\) stable (\(f(I)\subset I\)), \(u_{n_0}\in I\), \(u_{n+1}=f(u_n)\), et si \((u_n)\to\ell\in I\), alors \(\ell\) vérifie :

\[ f(\ell)=\ell \]

Méthode complète

\(f\) continue sur \(I\), \(f(I)\subset I\) : intervalle stable.
Récurrence : \(u_n\in I\) pour tout \(n\).
Étudier la monotonie de \((u_n)\) (signe de \(u_{n+1}-u_n\)).
Croissante majorée / décroissante minorée \(\Rightarrow\) convergente.
Résoudre \(f(x)=x\) dans \(I\) pour trouver \(\ell\).

v_n = f(u_n)

Si \(u_n\to\ell\) et \(f\) continue en \(\ell\) : \(\displaystyle\lim v_n=f(\ell)\).