\(\lim_{x\to+\infty}\left(2x^2-3x+5\right)\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}2x^2=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(-3x+5)=-\infty\), donc on est en présence d'une forme indéterminée \(``\infty-\infty\text{''}\).

\[2x^2-3x+5=x^2\left(2-\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right)\] \[\text{Or } \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty \ \text{ et } \ \lim_{x\to+\infty}\left(2-\frac3x+\frac5{x^2}\right)=2\] \[\text{D'où, par produit des limites :}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to+\infty}\left(2x^2-3x+5\right) = +\infty\]

2

\(\lim_{x\to-\infty}\left(2x^2-3x+5\right)\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2x^2=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(-3x+5)=+\infty\) (car \(x\to-\infty \Rightarrow -3x\to+\infty\)).

\[\text{Il n'y a pas de forme indéterminée : la somme de deux limites égales à } +\infty \text{ est } +\infty.\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-\infty}\left(2x^2-3x+5\right) = +\infty\]

3

\(\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+3}{3x^2+5x+9}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(2x+3)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(3x^2+5x+9)=+\infty\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac{\infty}{\infty}\text{''}\).

\[\frac{2x+3}{3x^2+5x+9}=\frac{x\left(2+\frac3x\right)}{x^2\left(3+\frac5x+\frac9{x^2}\right)}=\frac1x\times\frac{2+\frac3x}{3+\frac5x+\frac9{x^2}}\] \[\text{Or } \lim_{x\to+\infty}\frac1x=0 \ \text{ et } \ \lim_{x\to+\infty}\frac{2+\frac3x}{3+\frac5x+\frac9{x^2}}=\frac23\]

Conclusion

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+3}{3x^2+5x+9} = 0\]

4

\(\lim_{x\to-\infty}\frac{2x+3}{3x^2+5x+9}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(2x+3)=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(3x^2+5x+9)=+\infty\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac{\infty}{\infty}\text{''}\).

\[\frac{2x+3}{3x^2+5x+9}=\frac1x\times\frac{2+\frac3x}{3+\frac5x+\frac9{x^2}}\] \[\text{Or } \lim_{x\to-\infty}\frac1x=0 \ \text{ et } \ \lim_{x\to-\infty}\frac{2+\frac3x}{3+\frac5x+\frac9{x^2}}=\frac23\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-\infty}\frac{2x+3}{3x^2+5x+9} = 0\]

5

\(\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+4}{3x+1}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x^2+4)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(3x+1)=+\infty\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac{\infty}{\infty}\text{''}\).

\[\frac{x^2+4}{3x+1}=\frac{x^2\left(1+\frac4{x^2}\right)}{x\left(3+\frac1x\right)}=x\times\frac{1+\frac4{x^2}}{3+\frac1x}\] \[\text{Or } \lim_{x\to+\infty}x=+\infty \ \text{ et } \ \lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac4{x^2}}{3+\frac1x}=\frac13\]

Conclusion

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+4}{3x+1} = +\infty\]

6

\(\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+4}{3x+1}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2+4)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(3x+1)=-\infty\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac{\infty}{\infty}\text{''}\).

\[\frac{x^2+4}{3x+1}=x\times\frac{1+\frac4{x^2}}{3+\frac1x}\] \[\text{Or } \lim_{x\to-\infty}x=-\infty \ \text{ et } \ \lim_{x\to-\infty}\frac{1+\frac4{x^2}}{3+\frac1x}=\frac13\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+4}{3x+1} = -\infty\]

7

\(\lim_{x\to-1}\left(2x-1\right)\left(x^2-x-2\right)\)

La fonction est un polynôme, donc continue en \(-1\) : on calcule directement l'image.

\[(2(-1)-1)\big((-1)^2-(-1)-2\big)=(-3)(1+1-2)=(-3)(0)\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-1}\left(2x-1\right)\left(x^2-x-2\right) = 0\]

8

\(\lim_{x\to2}\frac{4x^3-5x-3}{x^2-x-1}\)

Le dénominateur ne s'annule pas en \(2\) (\(x^2-x-1=1\ne0\)), donc la fonction est bien définie et continue en \(2\) : on calcule directement l'image.

\[\frac{4(2)^3-5(2)-3}{(2)^2-(2)-1}=\frac{32-10-3}{4-2-1}=\frac{19}{1}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to2}\frac{4x^3-5x-3}{x^2-x-1} = 19\]

9

\(\lim_{x\to-2}\frac{x^2-4}{x+2}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to-2}(x^2-4)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-2}(x+2)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

Rappel — Identité remarquable \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

\[x^2-4=(x-2)(x+2)\] \[\text{Pour } x\ne-2:\ \ \frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2\] \[\text{Donc } \frac{x^2-4}{x+2}=-2-2\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-2}\frac{x^2-4}{x+2} = -4\]

10

\(\lim_{x\to\sqrt2}\left(\sqrt2\,x^3-3x^2-x\right)\)

La fonction est un polynôme, donc continue en \(\sqrt2\) : on calcule directement l'image.

\[\sqrt2(\sqrt2)^3-3(\sqrt2)^2-\sqrt2=\sqrt2\cdot2\sqrt2-3\cdot2-\sqrt2=4-6-\sqrt2\]

Conclusion

\[\lim_{x\to\sqrt2}\left(\sqrt2\,x^3-3x^2-x\right) = -2-\sqrt2\]

11

\(\lim_{x\to-\infty}\Big(2x^3+(x^2-1)(1-3x)\Big)\)

Après développement, l'expression contient des limites de signes contraires : on obtient une forme indéterminée \(``\infty-\infty\text{''}\).

\[2x^3+(x^2-1)(1-3x)=2x^3+x^2-3x^3-1+3x=-x^3+x^2+3x-1\] \[=x^3\left(-1+\frac1x+\frac3{x^2}-\frac1{x^3}\right)\] \[\text{Or } \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty \ \text{ et } \ \lim_{x\to-\infty}\left(-1+\frac1x+\frac3{x^2}-\frac1{x^3}\right)=-1\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-\infty}\Big(2x^3+(x^2-1)(1-3x)\Big) = +\infty\]

12

\(\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2+3}{x+3}-x\right)\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3}{x+3}=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\infty-\infty\text{''}\).

\[\frac{x^2+3}{x+3}-x=\frac{x^2+3-x(x+3)}{x+3}=\frac{-3x+3}{x+3}\] \[=\frac{x\left(-3+\frac3x\right)}{x\left(1+\frac3x\right)}=\frac{-3+\frac3x}{1+\frac3x}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2+3}{x+3}-x\right) = -3\]

13

\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x-1}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to1}(x^2-3x+2)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to1}(x-1)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

\[1 \text{ est racine évidente du numérateur, donc } x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\] \[\text{Pour } x\ne1:\ \ \frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2\] \[\text{Donc } \frac{x^2-3x+2}{x-1}=1-2\]

Conclusion

\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x-1} = -1\]

14

\(\lim_{x\to-2}\left(-\tfrac12x^2-3x+1\right)\)

La fonction est un polynôme, donc continue en \(-2\) : on calcule directement l'image.

\[-\tfrac12(-2)^2-3(-2)+1=-\tfrac12(4)+6+1=-2+6+1\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-2}\left(-\tfrac12x^2-3x+1\right) = 5\]

15

\(\lim_{x\to-\infty}\Big(-(x-1)+(2x-1)^2\Big)\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\big(-(x-1)\big)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(2x-1)^2=+\infty\) (un carré est toujours positif). Il n'y a pas d'indétermination : la somme de deux limites égales à \(+\infty\) est \(+\infty\).

\[\text{(à titre de vérification, en développant : } -(x-1)+(2x-1)^2=4x^2-5x+2 \text{, qui tend bien vers } +\infty\text{)}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-\infty}\Big(-(x-1)+(2x-1)^2\Big) = +\infty\]

16

\(\lim_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x}\right)\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\infty-\infty\text{''}\).

\[x-\sqrt x=x\left(1-\frac{1}{\sqrt x}\right)\] \[\text{Or } \lim_{x\to+\infty}x=+\infty \ \text{ et } \ \lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac1{\sqrt x}\right)=1\]

Conclusion

\[\lim_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x}\right) = +\infty\]

17

\(\lim_{x\to-\infty}\frac{(2x-1)^2x}{4x^3+1}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(2x-1)^2x=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(4x^3+1)=-\infty\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac{\infty}{\infty}\text{''}\).

\[(2x-1)^2x=(4x^2-4x+1)x=4x^3-4x^2+x\] \[\frac{4x^3-4x^2+x}{4x^3+1}=\frac{x^3\left(4-\frac4x+\frac1{x^2}\right)}{x^3\left(4+\frac1{x^3}\right)}=\frac{4-\frac4x+\frac1{x^2}}{4+\frac1{x^3}}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-\infty}\frac{(2x-1)^2x}{4x^3+1} = 1\]

18

\(\lim_{x\to0}\left(x^2+2x-1\right)\)

La fonction est un polynôme, donc continue en \(0\) : on calcule directement l'image.

\[0^2+2(0)-1\]

Conclusion

\[\lim_{x\to0}\left(x^2+2x-1\right) = -1\]

19

\(\lim_{x\to-\infty}\sqrt{\frac{3-5x}{x^2-5x+3}}\)

À l'intérieur de la racine, on a \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(3-5x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2-5x+3)=+\infty\), donc une forme indéterminée \(``\dfrac{\infty}{\infty}\text{''}\).

\[\frac{3-5x}{x^2-5x+3}=\frac{x\left(\frac3x-5\right)}{x^2\left(1-\frac5x+\frac3{x^2}\right)}=\frac1x\times\frac{-5+\frac3x}{1-\frac5x+\frac3{x^2}}\] \[\text{Or } \lim_{x\to-\infty}\frac1x=0 \ \text{ et } \ \lim_{x\to-\infty}\frac{-5+\frac3x}{1-\frac5x+\frac3{x^2}}=-5,\ \ \text{donc } \lim_{x\to-\infty}\frac{3-5x}{x^2-5x+3}=0^+\] \[\text{Par continuité de la racine carrée en } 0:\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-\infty}\sqrt{\frac{3-5x}{x^2-5x+3}} = 0\]

20

\(\lim_{x\to-1}\frac{x^2+3x+2}{x+1}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to-1}(x^2+3x+2)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-1}(x+1)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

\[-1 \text{ est racine évidente du numérateur, donc } x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\] \[\text{Pour } x\ne-1:\ \ \frac{x^2+3x+2}{x+1}=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2\] \[\text{Donc } \frac{x^2+3x+2}{x+1}=-1+2\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-1}\frac{x^2+3x+2}{x+1} = 1\]

21

\(\lim_{x\to2^-}\frac{x+3}{x-2}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}(x+3)=5\ne0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}(x-2)=0^-\) (car \(x<2\)) : il n'y a pas de forme indéterminée, le quotient est infini.

\[\text{Le numérateur tend vers } 5>0 \text{ et le dénominateur tend vers } 0^-\]

Conclusion

\[\lim_{x\to2^-}\frac{x+3}{x-2} = -\infty\]

22

\(\lim_{x\to\sqrt2}\left(\sqrt2\,x^3-3x^2-x\right)\)

La fonction est un polynôme, donc continue en \(\sqrt2\) (calcul identique à l'exercice 10).

\[\sqrt2(\sqrt2)^3-3(\sqrt2)^2-\sqrt2=4-6-\sqrt2\]

Conclusion

\[\lim_{x\to\sqrt2}\left(\sqrt2\,x^3-3x^2-x\right) = -2-\sqrt2\]

23

\(\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}\right)\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x+2}=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x-1}=+\infty\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\infty-\infty\text{''}\).

\[\text{On multiplie par la quantité conjuguée :}\] \[\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}=\frac{(x+2)-(x-1)}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}}=\frac{3}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}}\] \[\text{Or } \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}\right)=+\infty\]

Conclusion

\[\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}\right) = 0\]

24

\(\lim_{|x|\to+\infty}\frac{3x-4}{x^2-x+1}\)

Dans les deux cas (\(x\to+\infty\) et \(x\to-\infty\)), le numérateur et le dénominateur tendent vers l'infini, donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac{\infty}{\infty}\text{''}\).

\[\frac{3x-4}{x^2-x+1}=\frac{x\left(3-\frac4x\right)}{x^2\left(1-\frac1x+\frac1{x^2}\right)}=\frac1x\times\frac{3-\frac4x}{1-\frac1x+\frac1{x^2}}\] \[\text{Or } \lim_{x\to\pm\infty}\frac1x=0 \ \text{ et } \ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{3-\frac4x}{1-\frac1x+\frac1{x^2}}=3\]

Conclusion

\[\lim_{|x|\to+\infty}\frac{3x-4}{x^2-x+1} = 0\]

25

\(\lim_{x\to-1}\frac{2x+3}{1-x^2}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to-1}(2x+3)=1\ne0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-1}(1-x^2)=0\) : il n'y a pas de forme indéterminée, mais le dénominateur change de signe en \(-1\).

Rappel — Identité remarquable \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

\[1-x^2=(1-x)(1+x)\] \[\text{Pour } x\to-1^+:\ 1-x\to2>0 \text{ et } 1+x\to0^+ \ \Rightarrow\ 1-x^2\to0^+ \ \Rightarrow\ \frac{2x+3}{1-x^2}\to+\infty\] \[\text{Pour } x\to-1^-:\ 1-x\to2>0 \text{ et } 1+x\to0^- \ \Rightarrow\ 1-x^2\to0^- \ \Rightarrow\ \frac{2x+3}{1-x^2}\to-\infty\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-1}\frac{2x+3}{1-x^2} = \text{pas de limite en } -1 \text{ (limites à gauche et à droite différentes)}\]

26

\(\lim_{x\to+\infty}\left(x+1\right)\left(2x-1\right)\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x+1)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(2x-1)=+\infty\) : il n'y a pas d'indétermination, le produit de deux limites infinies de même signe est infini.

\[\text{Par produit des limites :}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to+\infty}\left(x+1\right)\left(2x-1\right) = +\infty\]

27

\(\lim_{x\to-\infty}\left(x+\sqrt{x^2+x-1}\right)\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+x-1}=+\infty\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\infty-\infty\text{''}\).

\[\text{On multiplie par la quantité conjuguée :}\] \[x+\sqrt{x^2+x-1}=\frac{x^2-(x^2+x-1)}{x-\sqrt{x^2+x-1}}=\frac{-x+1}{x-\sqrt{x^2+x-1}}\] \[\text{Pour } x<0,\ \sqrt{x^2+x-1}=\sqrt{x^2\left(1+\frac1x-\frac1{x^2}\right)}=-x\sqrt{1+\frac1x-\frac1{x^2}}\] \[\text{donc } x-\sqrt{x^2+x-1}=x+x\sqrt{1+\frac1x-\frac1{x^2}}=x\left(1+\sqrt{1+\frac1x-\frac1{x^2}}\right)\] \[\text{d'où : } \ \frac{x\left(-1+\frac1x\right)}{x\left(1+\sqrt{1+\frac1x-\frac1{x^2}}\right)}=\frac{-1+\frac1x}{1+\sqrt{1+\frac1x-\frac1{x^2}}}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-\infty}\left(x+\sqrt{x^2+x-1}\right) = -\tfrac12\]

28

\(\lim_{x\to-\infty}\frac{x^4-x+1}{-x^3+x+6}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^4-x+1)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(-x^3+x+6)=+\infty\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac{\infty}{\infty}\text{''}\).

\[\frac{x^4-x+1}{-x^3+x+6}=\frac{x^4\left(1-\frac1{x^3}+\frac1{x^4}\right)}{x^3\left(-1+\frac1{x^2}+\frac6{x^3}\right)}=x\times\frac{1-\frac1{x^3}+\frac1{x^4}}{-1+\frac1{x^2}+\frac6{x^3}}\] \[\text{Or } \lim_{x\to-\infty}x=-\infty \ \text{ et } \ \lim_{x\to-\infty}\frac{1-\frac1{x^3}+\frac1{x^4}}{-1+\frac1{x^2}+\frac6{x^3}}=-1\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-\infty}\frac{x^4-x+1}{-x^3+x+6} = +\infty\]

29

\(\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x^2-2x}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to2}(\sqrt x-\sqrt2)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to2}(x^2-2x)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

\[\text{On multiplie par la quantité conjuguée du numérateur, et on factorise } x^2-2x=x(x-2):\] \[\frac{\sqrt x-\sqrt2}{x(x-2)}=\frac{x-2}{x(x-2)(\sqrt x+\sqrt2)}=\frac{1}{x(\sqrt x+\sqrt2)}\] \[\text{Donc } \frac{1}{x(\sqrt x+\sqrt2)}=\frac{1}{2(\sqrt2+\sqrt2)}=\frac{1}{4\sqrt2}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x^2-2x} = \tfrac{\sqrt2}{8}\]

30

\(\lim_{x\to-1^+}\left(\frac{-2x^2+3x}{x-x^3}-x\right)\)

On factorise le dénominateur : \(x-x^3=x(1-x)(1+x)\), qui tend vers \(0\) en \(-1\), alors que \(-2x^2+3x\to-5\ne0\) : il n'y a pas d'indétermination sur ce terme, il diverge.

\[x-x^3=x(1-x)(1+x)\] \[\text{Pour } x\to-1^+:\ x\to-1<0,\ 1-x\to2>0,\ 1+x\to0^+ \ \Rightarrow\ x-x^3\to0^-\] \[\text{Le numérateur } -2x^2+3x\to-5,\ \text{donc } \frac{-2x^2+3x}{x-x^3}\to+\infty,\ \text{et } -x\to1 \text{ (borné)}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-1^+}\left(\frac{-2x^2+3x}{x-x^3}-x\right) = +\infty\]

31

\(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+1}}{x}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+1}\right)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0}x=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

\[\text{On multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée :}\] \[\frac{(x+1)-(x^2+1)}{x\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+1}\right)}=\frac{x-x^2}{x\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+1}\right)}=\frac{1-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+1}}\] \[\text{Donc } \frac{1-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{1+1}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+1}}{x} = \tfrac12\]

32

\(\lim_{x\to2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right)\)

Chacun des deux termes diverge en \(2\) (dénominateurs nuls) : on obtient une forme indéterminée \(``\infty-\infty\text{''}\).

Rappel — Identité remarquable \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

\[\text{On réduit au même dénominateur, en écrivant } x^2-4=(x-2)(x+2):\] \[\frac{1}{x-2}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}=\frac{(x+2)-4}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2}\] \[\text{Donc } \frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right) = \tfrac14\]

33

\(\lim_{x\to0^+}\left(\frac{1}{x}-\frac{3+x}{x^3}\right)\)

Chacun des deux termes diverge en \(0\) : on obtient une forme indéterminée \(``\infty-\infty\text{''}\).

\[\text{On réduit au même dénominateur } x^3:\] \[\frac{1}{x}-\frac{3+x}{x^3}=\frac{x^2-(3+x)}{x^3}=\frac{x^2-x-3}{x^3}\] \[\text{Le numérateur tend vers } -3 \ \text{et} \ x^3\to0^+ \ \Rightarrow\ \frac{x^2-x-3}{x^3}\to-\infty\]

Conclusion

\[\lim_{x\to0^+}\left(\frac{1}{x}-\frac{3+x}{x^3}\right) = -\infty\]

34

\(\lim_{x\to+\infty}\left(-3x+1\right)^3\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(-3x+1)=-\infty\). La fonction cube étant continue et strictement croissante, une limite en \(-\infty\) donne un cube tendant vers \(-\infty\).

\[\lim_{x\to+\infty}(-3x+1)=-\infty \ \Rightarrow\ \lim_{x\to+\infty}(-3x+1)^3=-\infty\]

Conclusion

\[\lim_{x\to+\infty}\left(-3x+1\right)^3 = -\infty\]

35

\(\lim_{x\to5}\frac{x-5}{x^2-4x-5}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to5}(x-5)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to5}(x^2-4x-5)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

\[5 \text{ est racine évidente du dénominateur, donc } x^2-4x-5=(x-5)(x+1)\] \[\text{Pour } x\ne5:\ \ \frac{x-5}{(x-5)(x+1)}=\frac{1}{x+1}\] \[\text{Donc } \frac{1}{x+1}=\frac16\]

Conclusion

\[\lim_{x\to5}\frac{x-5}{x^2-4x-5} = \tfrac16\]

36

\(\lim_{x\to-2}\frac{\sqrt{x+3}-1}{x^2+x-2}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to-2}(\sqrt{x+3}-1)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-2}(x^2+x-2)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

\[\text{On multiplie par la quantité conjuguée, et on factorise } x^2+x-2=(x+2)(x-1):\] \[\frac{(x+3)-1}{(x+2)(x-1)\left(\sqrt{x+3}+1\right)}=\frac{x+2}{(x+2)(x-1)\left(\sqrt{x+3}+1\right)}=\frac{1}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+1\right)}\] \[\text{Donc } \frac{1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+1)}=\frac{1}{(-3)(2)}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-2}\frac{\sqrt{x+3}-1}{x^2+x-2} = -\tfrac16\]

37

\(\lim_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x^2-3x+2}\right)\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2-3x+2}=+\infty\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\infty-\infty\text{''}\).

\[\text{On multiplie par la quantité conjuguée :}\] \[x-\sqrt{x^2-3x+2}=\frac{x^2-(x^2-3x+2)}{x+\sqrt{x^2-3x+2}}=\frac{3x-2}{x+\sqrt{x^2-3x+2}}\] \[\text{Pour } x>0,\ \sqrt{x^2-3x+2}=x\sqrt{1-\frac3x+\frac2{x^2}}\] \[\text{d'où : } \ \frac{x\left(3-\frac2x\right)}{x\left(1+\sqrt{1-\frac3x+\frac2{x^2}}\right)}=\frac{3-\frac2x}{1+\sqrt{1-\frac3x+\frac2{x^2}}}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x^2-3x+2}\right) = \tfrac32\]

38

\(\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^5-2x+2}{2x^4-3x+1}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(4x^5-2x+2)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(2x^4-3x+1)=+\infty\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac{\infty}{\infty}\text{''}\).

\[\frac{4x^5-2x+2}{2x^4-3x+1}=\frac{x^5\left(4-\frac2{x^4}+\frac2{x^5}\right)}{x^4\left(2-\frac3{x^3}+\frac1{x^4}\right)}=x\times\frac{4-\frac2{x^4}+\frac2{x^5}}{2-\frac3{x^3}+\frac1{x^4}}\] \[\text{Or } \lim_{x\to+\infty}x=+\infty \ \text{ et } \ \lim_{x\to+\infty}\frac{4-\frac2{x^4}+\frac2{x^5}}{2-\frac3{x^3}+\frac1{x^4}}=2\]

Conclusion

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^5-2x+2}{2x^4-3x+1} = +\infty\]

39

\(\lim_{x\to2^+}\frac{x^2-x-5}{x-2}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}(x^2-x-5)=-3\ne0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}(x-2)=0^+\) : il n'y a pas de forme indéterminée, le quotient est infini.

\[\text{Le numérateur tend vers } -3<0 \text{ et le dénominateur tend vers } 0^+\]

Conclusion

\[\lim_{x\to2^+}\frac{x^2-x-5}{x-2} = -\infty\]

40

\(\lim_{x\to-\infty}\left(2x+\sqrt{4x^2-5x+3}\right)\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2x=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\sqrt{4x^2-5x+3}=+\infty\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\infty-\infty\text{''}\).

\[\text{On multiplie par la quantité conjuguée :}\] \[2x+\sqrt{4x^2-5x+3}=\frac{4x^2-(4x^2-5x+3)}{2x-\sqrt{4x^2-5x+3}}=\frac{5x-3}{2x-\sqrt{4x^2-5x+3}}\] \[\text{Pour } x<0,\ \sqrt{4x^2-5x+3}=\sqrt{x^2\left(4-\frac5x+\frac3{x^2}\right)}=-x\sqrt{4-\frac5x+\frac3{x^2}}\] \[\text{donc le dénominateur } = 2x+x\sqrt{4-\frac5x+\frac3{x^2}}=x\left(2+\sqrt{4-\frac5x+\frac3{x^2}}\right)\] \[\text{d'où : } \ \frac{x\left(5-\frac3x\right)}{x\left(2+\sqrt{4-\frac5x+\frac3{x^2}}\right)}=\frac{5-\frac3x}{2+\sqrt{4-\frac5x+\frac3{x^2}}}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-\infty}\left(2x+\sqrt{4x^2-5x+3}\right) = \tfrac54\]

41

\(\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3x+2}{x^3-2x+1}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x^2+3x+2)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x^3-2x+1)=+\infty\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac{\infty}{\infty}\text{''}\).

\[\frac{x^2+3x+2}{x^3-2x+1}=\frac{x^2\left(1+\frac3x+\frac2{x^2}\right)}{x^3\left(1-\frac2{x^2}+\frac1{x^3}\right)}=\frac1x\times\frac{1+\frac3x+\frac2{x^2}}{1-\frac2{x^2}+\frac1{x^3}}\] \[\text{Or } \lim_{x\to+\infty}\frac1x=0 \ \text{ et } \ \lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac3x+\frac2{x^2}}{1-\frac2{x^2}+\frac1{x^3}}=1\]

Conclusion

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3x+2}{x^3-2x+1} = 0\]

42

\(\lim_{x\to-\infty}\left(-x^3-x^2+1\right)\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(-x^3)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(-x^2)=-\infty\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\infty-\infty\text{''}\).

\[-x^3-x^2+1=x^3\left(-1-\frac1x+\frac1{x^3}\right)\] \[\text{Or } \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty \ \text{ et } \ \lim_{x\to-\infty}\left(-1-\frac1x+\frac1{x^3}\right)=-1\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-\infty}\left(-x^3-x^2+1\right) = +\infty\]

43

\(\lim_{x\to2}\left(\sqrt{x^3+x}-x\right)\)

La fonction est continue en \(2\) (l'expression sous la racine, \(x^3+x=10>0\), est positive) : on calcule directement l'image.

\[\sqrt{(2)^3+2}-2=\sqrt{10}-2\]

Conclusion

\[\lim_{x\to2}\left(\sqrt{x^3+x}-x\right) = \sqrt{10}-2\]

44

\(\lim_{x\to2^-}\frac{x^2-3x+1}{x^2-4}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}(x^2-3x+1)=-1\ne0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}(x^2-4)=0\) : il n'y a pas de forme indéterminée, le quotient est infini.

Rappel — Identité remarquable \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

\[x^2-4=(x-2)(x+2)\] \[\text{Pour } x\to2^-:\ x-2\to0^- \text{ et } x+2\to4>0 \ \Rightarrow\ x^2-4\to0^-\] \[\text{Le numérateur tend vers } -1<0,\ \text{donc } \frac{x^2-3x+1}{x^2-4}\to+\infty\]

Conclusion

\[\lim_{x\to2^-}\frac{x^2-3x+1}{x^2-4} = +\infty\]

45

\(\lim_{x\to1}\frac{2x^2+3x+1}{x^2+4x-5}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to1}(2x^2+3x+1)=6\ne0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to1}(x^2+4x-5)=0\) : il n'y a pas de forme indéterminée, le quotient est infini (à étudier selon le signe de chaque côté).

\[x^2+4x-5=(x-1)(x+5) \ \text{ (racines évidentes } 1 \text{ et } -5\text{)}\] \[\text{Pour } x\to1^+:\ x-1\to0^+,\ x+5\to6>0 \ \Rightarrow\ x^2+4x-5\to0^+ \ \Rightarrow\ \frac{2x^2+3x+1}{x^2+4x-5}\to+\infty\] \[\text{Pour } x\to1^-:\ x-1\to0^-,\ x+5\to6>0 \ \Rightarrow\ x^2+4x-5\to0^- \ \Rightarrow\ \frac{2x^2+3x+1}{x^2+4x-5}\to-\infty\]

Conclusion

\[\lim_{x\to1}\frac{2x^2+3x+1}{x^2+4x-5} = \text{pas de limite en } 1 \text{ (limites à gauche et à droite différentes)}\]

46

\(\lim_{x\to\sqrt2}\left(x^3-x^2-\sqrt2\,x+3\right)\)

La fonction est un polynôme, donc continue en \(\sqrt2\) : on calcule directement l'image.

\[(\sqrt2)^3-(\sqrt2)^2-\sqrt2\cdot\sqrt2+3=2\sqrt2-2-2+3\]

Conclusion

\[\lim_{x\to\sqrt2}\left(x^3-x^2-\sqrt2\,x+3\right) = 2\sqrt2-1\]

47

\(\lim_{x\to0}\frac{\tan(4x)}{\sin(2x)}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to0}\tan(4x)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0}\sin(2x)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

Rappel — Limites de référence \[\lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1 \qquad \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1\]

\[\text{On fait apparaître ces deux limites de référence :}\] \[\frac{\tan(4x)}{\sin(2x)}=\frac{\tan(4x)}{4x}\times\frac{4x}{2x}\times\frac{2x}{\sin(2x)}=\frac{\dfrac{\tan(4x)}{4x}}{\dfrac{\sin(2x)}{2x}}\times2\] \[\text{Or } \lim_{x\to0}\frac{\tan(4x)}{4x}=1 \ \text{ et } \ \lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x}=1\]

Conclusion

\[\lim_{x\to0}\frac{\tan(4x)}{\sin(2x)} = 2\]

48

\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(6x)\tan(x)}{1-\cos(x)}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to0}\sin(6x)\tan(x)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0}(1-\cos x)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

Rappel — Limites de référence \[\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1 \qquad \lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1 \qquad \lim_{u\to0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac12\]

\[\text{On fait apparaître ces limites de référence :}\] \[\frac{\sin(6x)\tan(x)}{1-\cos(x)}=\frac{\dfrac{\sin(6x)}{6x}\times\dfrac{\tan x}{x}}{\dfrac{1-\cos x}{x^2}}\times\frac{6x\cdot x}{x^2}=\frac{\dfrac{\sin(6x)}{6x}\times\dfrac{\tan x}{x}}{\dfrac{1-\cos x}{x^2}}\times6\] \[\text{Or } \lim_{x\to0}\frac{\sin(6x)}{6x}=1,\ \ \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1,\ \ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12\]

Conclusion

\[\lim_{x\to0}\frac{\sin(6x)\tan(x)}{1-\cos(x)} = 12\]

49

\(\lim_{x\to+\infty}\left(x-1\right)\sin\!\left(\frac{1}{x-1}\right)\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-1)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sin\!\left(\frac1{x-1}\right)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\infty\times0\text{''}\).

Rappel — Limite de référence \[\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1\]

\[\text{On pose } u=\dfrac{1}{x-1}, \text{ qui tend vers } 0 \text{ quand } x\to+\infty :\] \[(x-1)\sin\!\left(\frac{1}{x-1}\right)=\frac{\sin u}{u}\] \[\text{Or, quand } x\to+\infty,\ u\to0 \text{ et } \dfrac{\sin u}{u}\to1\]

Conclusion

\[\lim_{x\to+\infty}\left(x-1\right)\sin\!\left(\frac{1}{x-1}\right) = 1\]

50

\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{\sqrt{1-\cos(x)}}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to0}\sin(2x)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0}\sqrt{1-\cos x}=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

Rappel — Limites de référence \[\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1 \qquad \lim_{u\to0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac12\]

\[\text{On écrit } 1-\cos x=x^2\times\dfrac{1-\cos x}{x^2}\ \text{, donc } \sqrt{1-\cos x}=|x|\sqrt{\dfrac{1-\cos x}{x^2}}\] \[\frac{\sin(2x)}{\sqrt{1-\cos x}}=\frac{\sin(2x)}{2x}\times\frac{2x}{|x|}\times\frac{1}{\sqrt{\dfrac{1-\cos x}{x^2}}}\] \[\text{Pour } x\to0^+:\ \dfrac{x}{|x|}=1,\ \ \lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x}=1,\ \ \lim_{x\to0}\sqrt{\dfrac{1-\cos x}{x^2}}=\sqrt{\dfrac12}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{\sqrt{1-\cos(x)}} = 2\sqrt2 \text{ (limite à droite)}\]

51

\(\lim_{x\to\pi/4}\frac{\tan(x)-1}{2\cos(x)-\sqrt2}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to\pi/4}(\tan x-1)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to\pi/4}(2\cos x-\sqrt2)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

Rappel — Formules de trigonométrie \[\tan a-\tan b=\frac{\sin(a-b)}{\cos a\cos b}\ ,\quad \cos a-\cos b=-2\sin\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\!\left(\frac{a-b}{2}\right)\ ,\quad \sin(2u)=2\sin u\cos u\]

\[\text{On pose } t=x-\dfrac{\pi}{4}, \text{ qui tend vers } 0.\] \[\tan x-1=\tan x-\tan\frac{\pi}{4}=\frac{\sin(x-\pi/4)}{\cos x\cos(\pi/4)}=\frac{\sqrt2\,\sin t}{\cos x}\] \[2\cos x-\sqrt2=2\left(\cos x-\cos\frac{\pi}{4}\right)=-4\sin\!\left(\frac{x+\pi/4}{2}\right)\sin\!\left(\frac{t}{2}\right)\] \[\text{En écrivant } \sin t=2\sin\frac t2\cos\frac t2,\ \text{le quotient devient : }\] \[\frac{\sqrt2\cdot2\sin\frac t2\cos\frac t2/\cos x}{-4\sin\left(\frac{x+\pi/4}{2}\right)\sin\frac t2}=\frac{\sqrt2\cos\frac t2}{-2\cos x\,\sin\left(\frac{x+\pi/4}{2}\right)}\] \[\text{Il n'y a plus de forme indéterminée : on remplace } t \text{ par } 0 \text{ (soit } x \text{ par } \pi/4\text{) :}\] \[\cos\frac t2\to1,\quad \cos x\to\frac{\sqrt2}{2},\quad \sin\!\left(\frac{x+\pi/4}{2}\right)\to\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to\pi/4}\frac{\tan(x)-1}{2\cos(x)-\sqrt2} = -\sqrt2\]

52

\(\lim_{x\to\pi/6}\frac{\cos(x)-\sqrt3\sin(x)}{6x-\pi}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to\pi/6}(\cos x-\sqrt3\sin x)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to\pi/6}(6x-\pi)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

Rappel — Limite de référence \[\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1\]

\[\text{On écrit } \cos x-\sqrt3\sin x=2\left(\tfrac12\cos x-\tfrac{\sqrt3}2\sin x\right)=2\cos\!\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\] \[\text{On pose } t=x-\dfrac{\pi}{6}, \text{ qui tend vers } 0. \text{ On a } x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}+t, \text{ et } \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)=-\sin t\] \[\text{donc le numérateur} = -2\sin t,\qquad \text{et } 6x-\pi=6t\] \[\frac{-2\sin t}{6t}=-\frac13\times\frac{\sin t}{t}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to\pi/6}\frac{\cos(x)-\sqrt3\sin(x)}{6x-\pi} = -\tfrac13\]

53

\(\lim_{x\to3}\frac{2x-5}{x+2}\)

Le dénominateur ne s'annule pas en \(3\) (\(x+2=5\ne0\)), donc la fonction est continue en \(3\) : on calcule directement l'image.

\[\frac{2(3)-5}{3+2}=\frac{6-5}{5}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to3}\frac{2x-5}{x+2} = \tfrac15\]

54

\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to1}(x^2-1)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to1}(x-1)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

Rappel — Identité remarquable \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

\[x^2-1=(x-1)(x+1)\] \[\text{Pour } x\ne1:\ \ \frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\] \[\text{Donc } \frac{x^2-1}{x-1}=1+1\]

Conclusion

\[\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1} = 2\]

55

\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to2}(x^2-5x+6)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to2}(x-2)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

\[2 \text{ est racine évidente du numérateur, donc } x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\] \[\text{Pour } x\ne2:\ \ \frac{x^2-5x+6}{x-2}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=x-3\] \[\text{Donc } \frac{x^2-5x+6}{x-2}=2-3\]

Conclusion

\[\lim_{x\to2}\frac{x^2-5x+6}{x-2} = -1\]

56

\(\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x^2-4x+3}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to3}(x^2-9)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to3}(x^2-4x+3)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

Rappel — Identité remarquable \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

\[x^2-9=(x-3)(x+3) \ \text{ et } \ x^2-4x+3=(x-3)(x-1) \ \text{ (racines évidentes } 3 \text{ et } 1\text{)}\] \[\text{Pour } x\ne3:\ \ \frac{x^2-9}{x^2-4x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-1)}=\frac{x+3}{x-1}\] \[\text{Donc } \frac{x+3}{x-1}=\frac{6}{2}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x^2-4x+3} = 3\]

57

\(\lim_{x\to2}\frac{x-2}{x^2+x-6}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to2}(x-2)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to2}(x^2+x-6)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

\[2 \text{ est racine évidente du dénominateur, donc } x^2+x-6=(x-2)(x+3)\] \[\text{Pour } x\ne2:\ \ \frac{x-2}{x^2+x-6}=\frac{x-2}{(x-2)(x+3)}=\frac{1}{x+3}\] \[\text{Donc } \frac{1}{x+3}=\frac15\]

Conclusion

\[\lim_{x\to2}\frac{x-2}{x^2+x-6} = \tfrac15\]

58

\(\lim_{x\to1}\frac{x^2+x-2}{x-1}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to1}(x^2+x-2)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to1}(x-1)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

\[1 \text{ est racine évidente du numérateur, donc } x^2+x-2=(x-1)(x+2)\] \[\text{Pour } x\ne1:\ \ \frac{x^2+x-2}{x-1}=\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2\] \[\text{Donc } \frac{x^2+x-2}{x-1}=1+2\]

Conclusion

\[\lim_{x\to1}\frac{x^2+x-2}{x-1} = 3\]

59

\(\lim_{x\to-1}\frac{x^3+1}{x^2+3x+2}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to-1}(x^3+1)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-1}(x^2+3x+2)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

Rappel — Identité remarquable \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\]

\[x^3+1=x^3+1^3=(x+1)(x^2-x+1) \ \text{ et } \ x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\] \[\text{Pour } x\ne-1:\ \ \frac{x^3+1}{x^2+3x+2}=\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{x^2-x+1}{x+2}\] \[\text{Donc } \frac{x^2-x+1}{x+2}=\frac{1+1+1}{1}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to-1}\frac{x^3+1}{x^2+3x+2} = 3\]

60

\(\lim_{x\to1}\frac{x^3-x^2+x-1}{x^2-1}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to1}(x^3-x^2+x-1)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to1}(x^2-1)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

Rappel — Identité remarquable \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

\[\begin{array}{r}x^3-x^2+x-1\\ \underline{-\left(x^3-x^2\right)}\\ x-1\\ \underline{-\left(x-1\right)}\\ 0\end{array}\]

\[\begin{array}{c}x-1\\ \hline x^2+1\end{array}\]

\[\text{La division euclidienne de } x^3-x^2+x-1 \text{ par } (x-1) \text{ donne (ci-dessus) : } \ x^3-x^2+x-1=(x-1)(x^2+1)\] \[\text{Et } x^2-1=(x-1)(x+1)\] \[\text{Pour } x\ne1:\ \ \frac{x^3-x^2+x-1}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x^2+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+1}{x+1}\] \[\text{Donc } \frac{x^2+1}{x+1}=\frac{2}{2}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to1}\frac{x^3-x^2+x-1}{x^2-1} = 1\]

61

\(\lim_{x\to2}\frac{x^4-16}{x^3-8}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to2}(x^4-16)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to2}(x^3-8)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\).

Rappel — Identités remarquables \[a^2-b^2=(a-b)(a+b) \qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

\[x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)\] \[x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)\] \[\text{Pour } x\ne2:\ \ \frac{x^4-16}{x^3-8}=\frac{(x-2)(x+2)(x^2+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{(x+2)(x^2+4)}{x^2+2x+4}\] \[\text{Donc } \frac{(x+2)(x^2+4)}{x^2+2x+4}=\frac{4\times8}{12}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to2}\frac{x^4-16}{x^3-8} = \tfrac83\]

62

\(\lim_{x\to1}\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}\)

On a \(\displaystyle\lim_{x\to1}(x^3-3x+2)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to1}(x^4-4x+3)=0\), donc on obtient une forme indéterminée \(``\dfrac00\text{''}\). De plus \(1\) est racine double des deux polynômes.

\[\begin{array}{r}x^3+0x^2-3x+2\\ \underline{-\left(x^3-x^2\right)}\\ x^2-3x+2\\ \underline{-\left(x^2-x\right)}\\ -2x+2\\ \underline{-\left(-2x+2\right)}\\ 0\end{array}\]

\[\begin{array}{c}x-1\\ \hline x^2+x-2\end{array}\]

\[\text{La division euclidienne de } x^3-3x+2 \text{ par } (x-1) \text{ donne (ci-dessus) : } \ x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)\] \[\text{On factorise à nouveau : } x^2+x-2=(x-1)(x+2), \text{ donc } x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)\] \[\text{De même, } x^4-4x+3=(x-1)^2(x^2+2x+3)\] \[\text{Pour } x\ne1:\ \ \frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}=\frac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x^2+2x+3)}=\frac{x+2}{x^2+2x+3}\] \[\text{Donc } \frac{x+2}{x^2+2x+3}=\frac{3}{6}\]

Conclusion

\[\lim_{x\to1}\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3} = \tfrac12\]

Partie 1 — Limites polynômes, rationnelles & irrationnelles

\(\lim_{x\to+\infty}\left(2x^2-3x+5\right)\)

\(\lim_{x\to-\infty}\left(2x^2-3x+5\right)\)

\(\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+3}{3x^2+5x+9}\)

\(\lim_{x\to-\infty}\frac{2x+3}{3x^2+5x+9}\)

\(\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+4}{3x+1}\)

\(\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+4}{3x+1}\)

\(\lim_{x\to-1}\left(2x-1\right)\left(x^2-x-2\right)\)

\(\lim_{x\to2}\frac{4x^3-5x-3}{x^2-x-1}\)

\(\lim_{x\to-2}\frac{x^2-4}{x+2}\)

\(\lim_{x\to\sqrt2}\left(\sqrt2\,x^3-3x^2-x\right)\)

\(\lim_{x\to-\infty}\Big(2x^3+(x^2-1)(1-3x)\Big)\)

\(\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2+3}{x+3}-x\right)\)

\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2}{x-1}\)

\(\lim_{x\to-2}\left(-\tfrac12x^2-3x+1\right)\)

\(\lim_{x\to-\infty}\Big(-(x-1)+(2x-1)^2\Big)\)

\(\lim_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x}\right)\)

\(\lim_{x\to-\infty}\frac{(2x-1)^2x}{4x^3+1}\)

\(\lim_{x\to0}\left(x^2+2x-1\right)\)

\(\lim_{x\to-\infty}\sqrt{\frac{3-5x}{x^2-5x+3}}\)

\(\lim_{x\to-1}\frac{x^2+3x+2}{x+1}\)

\(\lim_{x\to2^-}\frac{x+3}{x-2}\)

\(\lim_{x\to\sqrt2}\left(\sqrt2\,x^3-3x^2-x\right)\)

\(\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}\right)\)

\(\lim_{|x|\to+\infty}\frac{3x-4}{x^2-x+1}\)

\(\lim_{x\to-1}\frac{2x+3}{1-x^2}\)

\(\lim_{x\to+\infty}\left(x+1\right)\left(2x-1\right)\)

\(\lim_{x\to-\infty}\left(x+\sqrt{x^2+x-1}\right)\)

\(\lim_{x\to-\infty}\frac{x^4-x+1}{-x^3+x+6}\)

\(\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x^2-2x}\)

\(\lim_{x\to-1^+}\left(\frac{-2x^2+3x}{x-x^3}-x\right)\)

\(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+1}}{x}\)

\(\lim_{x\to2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right)\)

\(\lim_{x\to0^+}\left(\frac{1}{x}-\frac{3+x}{x^3}\right)\)

\(\lim_{x\to+\infty}\left(-3x+1\right)^3\)

Partie 2 — Limites trigonométriques & formes indéterminées

\(\lim_{x\to5}\frac{x-5}{x^2-4x-5}\)

\(\lim_{x\to-2}\frac{\sqrt{x+3}-1}{x^2+x-2}\)

\(\lim_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x^2-3x+2}\right)\)

\(\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^5-2x+2}{2x^4-3x+1}\)

\(\lim_{x\to2^+}\frac{x^2-x-5}{x-2}\)

\(\lim_{x\to-\infty}\left(2x+\sqrt{4x^2-5x+3}\right)\)

\(\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3x+2}{x^3-2x+1}\)

\(\lim_{x\to-\infty}\left(-x^3-x^2+1\right)\)

\(\lim_{x\to2}\left(\sqrt{x^3+x}-x\right)\)

\(\lim_{x\to2^-}\frac{x^2-3x+1}{x^2-4}\)

\(\lim_{x\to1}\frac{2x^2+3x+1}{x^2+4x-5}\)

\(\lim_{x\to\sqrt2}\left(x^3-x^2-\sqrt2\,x+3\right)\)

\(\lim_{x\to0}\frac{\tan(4x)}{\sin(2x)}\)

\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(6x)\tan(x)}{1-\cos(x)}\)

\(\lim_{x\to+\infty}\left(x-1\right)\sin\!\left(\frac{1}{x-1}\right)\)

\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{\sqrt{1-\cos(x)}}\)

\(\lim_{x\to\pi/4}\frac{\tan(x)-1}{2\cos(x)-\sqrt2}\)

\(\lim_{x\to\pi/6}\frac{\cos(x)-\sqrt3\sin(x)}{6x-\pi}\)

Partie 3 — Limites classiques (factorisation directe)

\(\lim_{x\to3}\frac{2x-5}{x+2}\)

\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)

\(\lim_{x\to2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}\)

\(\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x^2-4x+3}\)

\(\lim_{x\to2}\frac{x-2}{x^2+x-6}\)

\(\lim_{x\to1}\frac{x^2+x-2}{x-1}\)

\(\lim_{x\to-1}\frac{x^3+1}{x^2+3x+2}\)

\(\lim_{x\to1}\frac{x^3-x^2+x-1}{x^2-1}\)

\(\lim_{x\to2}\frac{x^4-16}{x^3-8}\)

\(\lim_{x\to1}\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}\)

La continuité en un point