Pour \(A=\left]-2,5\right]\), tout \(M\geq5\) est un majorant et tout \(m\leq-2\) est un minorant : \(A\) est donc bornée.

Maximum et minimum

Soit \(A\subset\mathbb{R}\), \(A\neq\varnothing\).

\(M\in A\) est le maximum de \(A\), noté \(M=\max A\), lorsque \(\forall x\in A,\ x\leq M\).
\(m\in A\) est le minimum de \(A\), noté \(m=\min A\), lorsque \(\forall x\in A,\ m\leq x\).

Remarque

Un maximum est un majorant qui appartient à l'ensemble. Un minimum est un minorant qui appartient à l'ensemble.

\[ [a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\}. \]

Pour \(A=[-2,4[\), on a \(\min A=-2\). En revanche \(A\) n'a pas de maximum puisque \(4\notin A\) — on verra que \(\sup A=4\).

Intervalles de \(\mathbb{R}\)

Définition — segment

Soient \(a,b\in\mathbb{R}\) avec \(a\leq b\). Le segment d'extrémités \(a\) et \(b\) est

Définition — intervalle

\(I\subset\mathbb{R}\) est un intervalle lorsque

\[ \forall x,y\in I,\qquad x\leq y \Longrightarrow [x,y]\subset I, \]

c'est-à-dire : \(x,y\in I\) et \(x\leq z\leq y\) entraînent \(z\in I\).

Les intervalles de \(\mathbb{R}\) sont notamment

\[ [a,b],\quad [a,b[,\quad ]a,b],\quad ]a,b[,\quad ]-\infty,a],\quad ]-\infty,a[,\quad [a,+\infty[,\quad ]a,+\infty[, \]

ainsi que \(\mathbb{R}\), \(\varnothing\) et \(\{a\}\).

Exemple — un ensemble qui n'est pas un intervalle

\([-2,-1]\cup[1,3]\) n'est pas un intervalle : on a \(-1\) et \(1\) dans cet ensemble, et \(-1<0<1\), mais \(0\notin[-2,-1]\cup[1,3]\).

Borne supérieure et borne inférieure

Définition — borne supérieure

Soit \(A\subset\mathbb{R}\) non vide et majorée. La borne supérieure de \(A\), notée \(\sup A\), est le plus petit des majorants de \(A\).

Ainsi \(M=\sup A\) signifie : \(\forall x\in A,\ x\leq M\), et tout réel strictement inférieur à \(M\) n'est pas un majorant de \(A\).

Définition — borne inférieure

Soit \(A\subset\mathbb{R}\) non vide et minorée. La borne inférieure de \(A\), notée \(\inf A\), est le plus grand des minorants de \(A\).

\[ \boxed{\inf A=0} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\sup A=2}, \]

Pour \(A=]0,2[\),

alors que \(0\notin A\) et \(2\notin A\) : \(A\) n'a ni minimum ni maximum.

Bornes des intervalles

Pour \(a< b\),

\[ \sup[a,b]=\sup[a,b[=\sup]a,b]=\sup]a,b[=b, \qquad \inf[a,b]=\inf[a,b[=\inf]a,b]=\inf]a,b[=a, \] \[ \sup]-\infty,b]=\sup]-\infty,b[=b, \qquad\text{et}\qquad \inf[a,+\infty[=\inf]a,+\infty[=a. \]

Axiome de la borne supérieure

Axiome de complétude de \(\mathbb{R}\)

Toute partie non vide et majorée de \(\mathbb{R}\) possède une borne supérieure :

\[ A\neq\varnothing,\quad A\text{ majorée} \quad\Longrightarrow\quad \exists\,\sup A\in\mathbb{R}. \]

De même, toute partie non vide et minorée possède une borne inférieure.

Caractérisation de la borne supérieure/inférieure

Soit \(A\subset\mathbb{R}\) non vide et majorée. Alors \(\boxed{M=\sup A}\) si et seulement si

\[ \begin{cases} \forall x\in A,\quad x\leq M,\\[1mm] \forall\varepsilon>0,\quad \exists x_\varepsilon\in A \text{ tel que } M-\varepsilon< x_\varepsilon. \end{cases} \]

La seconde condition dit que, pour tout \(\varepsilon>0\), \(M-\varepsilon\) n'est pas un majorant de \(A\). De façon symétrique, \(\boxed{m=\inf A}\) si et seulement si \(\forall x\in A,\ m\leq x\) et \(\forall\varepsilon>0,\ \exists x_\varepsilon\in A,\ x_\varepsilon< m+\varepsilon\).

Propriété — passage à la borne

Soit \(A\subset\mathbb{R}\) non vide. Si \(\forall x\in A,\ x\leq a\), alors \(\boxed{\sup A\leq a}\). De même, si \(\forall x\in A,\ x\geq a\), alors \(\boxed{\inf A\geq a}\).

Exercice d'application

Exercice classique — sup et inf

Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides de \(\mathbb{R}\) telles que \(A\subset B\).

1.Montrer que si \(B\) est majorée, alors \(\sup A\leq\sup B\).

2.Montrer que si \(B\) est minorée, alors \(\inf A\geq\inf B\).

\[ \boxed{ \forall x\in\mathbb{R},\quad \exists n\in\mathbb{N},\quad n>x. } \]

On considère \(\displaystyle A=\left\{(-1)^n+\frac1n \;\middle|\; n\in\mathbb{N}^*\right\}\).

1.Déterminer \(\sup A\).

2.Déterminer \(\inf A\).

3.\(A\) possède-t-il un maximum ?

4.\(A\) possède-t-il un minimum ?

Propriété d'Archimède et partie entière

Propriété d'Archimède

Pour tout réel \(x\), il existe un entier naturel \(n\) tel que

\[ \boxed{\frac1n<\varepsilon.} \]

Par l'absurde, si \(\mathbb{N}\) était majoré, il aurait (axiome de la borne supérieure) une borne supérieure \(M=\sup\mathbb{N}\). Alors \(M-1\) n'est pas un majorant de \(\mathbb{N}\), donc il existe \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(M-1< n\), soit \(M< n+1\). Or \(n+1\in\mathbb{N}\), ce qui contredit le fait que \(M\) majore \(\mathbb{N}\). Ainsi \(\mathbb{N}\) n'est pas majoré. \(\blacksquare\)

Corollaire

Pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(n\in\mathbb{N}^*\) tel que

Démonstration. On a \(\frac1\varepsilon>0\), donc par Archimède il existe \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(n>\frac1\varepsilon\), soit \(\frac1n<\varepsilon\) puisque \(n>0\).

Partie entière

Proposition-définition

Pour tout réel \(x\), il existe un unique entier \(n\in\mathbb{Z}\) tel que

\[ \boxed{n\leq x< n+1.} \]

Cet entier, appelé partie entière de \(x\), est noté \(\boxed{\lfloor x\rfloor}\), et vérifie \(\boxed{\lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1}\).

Exemples \[ \lfloor3.7\rfloor=3,\qquad \lfloor2\rfloor=2,\qquad \lfloor-1.5\rfloor=-2,\qquad \lfloor-3\rfloor=-3. \]

Remarque

Pour un nombre négatif, la partie entière est le plus grand entier inférieur ou égal au nombre : par exemple \(-2\leq-1.5<-1\), donc \(\lfloor-1.5\rfloor=-2\).

Propriétés \[ \boxed{x-1<\lfloor x\rfloor\leq x} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\lfloor n\rfloor=n\ \ (n\in\mathbb{Z}).} \]

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) et tout \(n\in\mathbb{Z}\), \(\boxed{\lfloor x+n\rfloor=\lfloor x\rfloor+n}\), et \(x\leq y\Longrightarrow\boxed{\lfloor x\rfloor\leq\lfloor y\rfloor}\) (croissance).

Exercice d'application

Approximations décimales d'un réel

Montrer que \(x\longmapsto\lfloor x\rfloor\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

Pour \(x\in\mathbb{R}\) et \(n\in\mathbb{N}\), en posant

\[ a_n=\frac{\lfloor10^nx\rfloor}{10^n} \qquad\text{et}\qquad b_n=\frac{\lfloor10^nx\rfloor+1}{10^n}, \]

on a \(a_n\leq x< b_n\) et \(b_n-a_n=10^{-n}\). \(a_n\) est l'approximation décimale par défaut de \(x\) à \(10^{-n}\), \(b_n\) l'approximation par excès.

\[ \boxed{0.333\leq\frac13<0.334.} \]

Pour \(x=\frac13=0.3333\ldots\) : \(a_0=0,\ b_0=1\) ; \(a_1=0.3,\ b_1=0.4\) ; \(a_2=0.33,\ b_2=0.34\) ; \(a_3=0.333,\ b_3=0.334\). Ainsi

Densité dans \(\mathbb{R}\)

Définition

\(A\subset\mathbb{R}\) est dense dans \(\mathbb{R}\) lorsque

\[ \boxed{ \forall x,y\in\mathbb{R},\quad x< y \Longrightarrow \exists a\in A,\quad x< a< y. } \]

Autrement dit, entre deux réels distincts, on trouve toujours un élément de \(A\).

Densité des nombres décimaux

\(\mathbb{Z}\) n'est pas dense dans \(\mathbb{R}\) : il n'existe aucun entier \(n\) tel que \(\frac14< n<\frac12\).

On note \(\displaystyle\mathbb{D}=\left\{\frac{k}{10^n}\;\middle|\;k\in\mathbb{Z},\ n\in\mathbb{N}\right\}\) l'ensemble des nombres décimaux.

\(\mathbb{D}\) est dense dans \(\mathbb{R}\).

\[ \boxed{x<\frac{k}{10^n}< y,} \]

Soient \(x< y\). Comme \(y-x>0\), Archimède donne \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(\frac1{10^n}< y-x\). Posons \(k=\lfloor10^nx\rfloor+1\). Par définition de la partie entière, \(10^nx< k\), donc \(x<\frac{k}{10^n}\). D'autre part \(k\leq10^nx+1\), donc \(\frac{k}{10^n}\leq x+\frac1{10^n}< y\). Ainsi

et \(\frac{k}{10^n}\in\mathbb{D}\) : \(\mathbb{D}\) est dense dans \(\mathbb{R}\).

Densité des rationnels

\(\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\).

\[ \boxed{\mathbb{Q}\text{ est dense dans }\mathbb{R}.} \]

Comme \(\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{D}\) est dense dans \(\mathbb{R}\), pour tous \(x< y\) il existe \(d\in\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\) tel que \(x< d< y\). Donc

Densité des irrationnels

\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\).

\[ \boxed{ \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \text{ est dense dans }\mathbb{R}. } \]

Soient \(x< y\). Alors \(x-\sqrt2< y-\sqrt2\), et par densité de \(\mathbb{Q}\), il existe \(r\in\mathbb{Q}\) tel que \(x-\sqrt2< r< y-\sqrt2\), soit \(x< r+\sqrt2< y\). Si \(r+\sqrt2\in\mathbb{Q}\), alors \(\sqrt2=(r+\sqrt2)-r\in\mathbb{Q}\), ce qui contredit l'irrationalité de \(\sqrt2\). Donc \(r+\sqrt2\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), et

Droite réelle achevée

Définition

La droite réelle achevée est l'ensemble

\[ \boxed{ \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}. } \]

L'ordre usuel de \(\mathbb{R}\) est prolongé en posant \(\boxed{-\infty< x<+\infty}\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\), d'où \(\min(\overline{\mathbb{R}})=-\infty\) et \(\max(\overline{\mathbb{R}})=+\infty\).

Opérations avec l'infini

Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(x+(+\infty)=+\infty\) et \(x+(-\infty)=-\infty\).

Si \(x>0\) : \(x(+\infty)=+\infty\), \(x(-\infty)=-\infty\). Si \(x<0\) : \(x(+\infty)=-\infty\), \(x(-\infty)=+\infty\).

Dans le cadre des limites, on utilise aussi \(\displaystyle\frac1{+\infty}=0\) et \(\displaystyle\frac1{-\infty}=0\).

Expressions indéterminées

Les expressions

\[ +\infty-\infty, \qquad 0\times(\pm\infty), \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad \frac00 \]

ne se calculent pas directement : dans l'étude des limites, elles correspondent à des formes indéterminées.

Exercices d'approfondissement

Exercice 1

Soit \(\displaystyle A=\left\{\frac{n}{n+1}\;\middle|\;n\in\mathbb{N}^*\right\}\).

1.Montrer que \(A\) est majorée.

2.Déterminer \(\sup A\).

3.\(A\) possède-t-il un maximum ?

4.Déterminer \(\inf A\) et \(\min A\).

Exercice 2

Soient \(x,y\in\mathbb{R}\) tels que \(x< y\). Montrer qu'il existe une infinité de nombres rationnels dans \(]x,y[\).

Exercice 3