Chapitre 2 · Partie 1

Ensembles : vocabulaire, inclusion et parties

La théorie des ensembles fournit le langage de toutes les mathématiques. Appartenance, inclusion, cardinal, ensemble des parties : quatre notions élémentaires — et quatre occasions de se tromper si on confond \(\in\) et \(\subseteq\).

Notions fondamentales

Définition

Un ensemble est une collection d'objets mathématiques appelés ses éléments. Si \(x\) est un élément de \(E\), on écrit \(x\in E\) ; sinon, on écrit \(x\notin E\).

Figure animée · Appartenance

État actuel : x ∉ E

Vocabulaire

▸ L'ensemble ne contenant aucun élément est l'ensemble vide, noté \(\varnothing\).

▸ Un ensemble contenant un seul élément \(x\) est un singleton, noté \(\{x\}\).

Exemples

\(\{0,1,2\}\), \(\ \{x\in\mathbb{R}\mid |x-2|<1\}\), \(\ \{z\in\mathbb{C}\mid z^5=1\}\), \(\ \{x\in\mathbb{R}\mid 0\leq x\leq 1\}=[0,1]\).

Le singleton \(\{a\}=\{x\mid x=a\}\).

Le cercle unité du plan : \(\mathcal{C}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\}\).

1.1 — Cardinal

Définition

Soit \(E\) un ensemble fini. Le nombre d'éléments de \(E\) est appelé le cardinal de \(E\), noté \(\mathrm{Card}(E)\) ou \(|E|\).

Exemples

▸ Si \(E=\{2,4,6,8\}\), alors \(\mathrm{Card}(E)=4\).

▸ \(\mathrm{Card}(\varnothing)=0\).

▸ Pour \(a,b\in\mathbb{Z}\) avec \(a\leq b\) :

\[ [\![a,b]\!]=\{n\in\mathbb{Z}\mid a\leq n\leq b\}, \qquad \mathrm{Card}\big([\![a,b]\!]\big)=b-a+1. \]

Inclusion et égalité de deux ensembles

Définition · Inclusion

\(E\) est inclus dans \(F\), noté \(E\subseteq F\), lorsque tout élément de \(E\) est élément de \(F\) :

\[ E\subseteq F \iff \big(\forall x,\ x\in E\Longrightarrow x\in F\big) \quad\text{c.-à-d.}\quad \big(\forall x\in E,\ x\in F\big). \]

On dit alors que \(E\) est un sous-ensemble (ou une partie) de \(F\), que \(E\) est contenu dans \(F\), ou que \(F\) contient \(E\) : \(F\supseteq E\).

Figure animée · Inclusion

A ⊄ B : il existe un élément de A qui n'appartient pas à B.

Négation de l'inclusion \[ E\not\subseteq F \iff \exists x\in E,\ x\notin F. \]

Pour montrer qu'une inclusion est fausse, il suffit donc d'exhiber un seul contre-exemple.

Attention · \(\in\) contre \(\subseteq\)

Le symbole \(\in\) relie un élément à un ensemble ; le symbole \(\subseteq\) relie deux ensembles.

On a \(2\in\mathbb{N}\) et \(\{2\}\subseteq\mathbb{N}\) ; de même \(\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\) mais \(\mathbb{N}\notin\mathbb{Z}\).

Exemples

\(\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\) et \(\{0,2,4,2\}=\{0,2,4\}\subseteq\mathbb{N}\) (répéter un élément ne change rien).

2.1 — Égalité de deux ensembles

Définition

Deux ensembles \(A\) et \(B\) sont égaux lorsqu'ils possèdent exactement les mêmes éléments :

\[ A=B \iff \forall x,\quad x\in A\Longleftrightarrow x\in B. \]

Proposition · Double inclusion \[ A=B \iff \big(A\subseteq B\ \text{ et }\ B\subseteq A\big). \]

Pour montrer \(A=B\), on établit donc soit la double inclusion, soit directement la chaîne d'équivalences \(\forall x,\ x\in A\Longleftrightarrow x\in B\).

Exemple rédigé

Montrons que \(A=\{x\in\mathbb{R}\mid x^2-3x+2=0\}\) et \(B=\{1,2\}\) sont égaux. Pour \(x\in\mathbb{R}\) :

\[ \begin{aligned} x\in A &\iff x^2-3x+2=0\\ &\iff (x-1)(x-2)=0\\ &\iff x=1\ \text{ ou }\ x=2\\ &\iff x\in B. \end{aligned} \]

Ainsi \(A=B\).

Propriétés de l'inclusion

\(\varnothing\subseteq E\) ;
\(E\subseteq E\) (réflexivité) ;
\((E\subseteq G\ \text{ et }\ G\subseteq F)\Longrightarrow E\subseteq F\) (transitivité) ;
\((E\subseteq F\ \text{ et }\ F\subseteq E)\iff E=F\) ;
\(E\neq F\iff (E\not\subseteq F\ \text{ ou }\ F\not\subseteq E)\).

Ensemble des parties

Définition

Soit \(E\) un ensemble. L'ensemble des parties de \(E\) est

\[ \mathcal{P}(E)=\{A\mid A\subseteq E\}, \qquad\text{ainsi}\qquad A\in\mathcal{P}(E)\iff A\subseteq E. \]

En particulier, pour tout ensemble \(E\) : \(\varnothing\in\mathcal{P}(E)\) et \(E\in\mathcal{P}(E)\).

Exemples

\(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\) — attention, c'est un ensemble à un élément, pas l'ensemble vide.

Si \(E=\{x\}\), alors \(\mathcal{P}(E)=\{\varnothing,E\}\).

Si \(E=\{1,2\}\), alors \(\mathcal{P}(E)=\big\{\varnothing,\{1\},\{2\},E\big\}\).

Explorateur animé · \(\mathcal{P}(E)\)

Choisis le cardinal de \(E\) : toutes les parties se construisent une à une.

Théorème

Soit \(E\) un ensemble fini de cardinal \(n\). Alors

\[ \mathrm{Card}\big(\mathcal{P}(E)\big)=2^n. \]

Proposition \[ A\subseteq B \iff \mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B). \]

Corollaire \[ \mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\iff A=B. \]

Applications

Exercice 1

Énoncé

Soit \(E=\{0,1,2\}\). Indiquer la valeur de vérité (V / F) de chacune des assertions suivantes :

\[ \begin{array}{lll} 0\in E & \{0\}\in E & \{0\}\subseteq E\\[.35em] \varnothing\subseteq E & \varnothing\in\mathcal{P}(E) & E\subseteq\mathcal{P}(E)\\[.35em] \{0,2\}\in\mathcal{P}(E) & E\in\mathcal{P}(E) & \end{array} \]

Correction

Assertion	Valeur	Justification
\(0\in E\)	V	\(0\) est un élément de \(E\).
\(\{0\}\in E\)	F	Les éléments de \(E\) sont \(0,1,2\), pas des ensembles.
\(\{0\}\subseteq E\)	V	Le seul élément \(0\) de \(\{0\}\) est dans \(E\).
\(\varnothing\subseteq E\)	V	Toujours vrai.
\(\varnothing\in\mathcal{P}(E)\)	V	Car \(\varnothing\subseteq E\).
\(E\subseteq\mathcal{P}(E)\)	F	\(0\in E\) mais \(0\notin\mathcal{P}(E)\) (\(0\) n'est pas une partie de \(E\)).
\(\{0,2\}\in\mathcal{P}(E)\)	V	Car \(\{0,2\}\subseteq E\).
\(E\in\mathcal{P}(E)\)	V	Car \(E\subseteq E\).

Bilan : la seule difficulté est la confusion \(\in\) / \(\subseteq\). Toujours se demander : « l'objet à gauche est-il un élément, ou un ensemble ? »

Exercice 2

Énoncé

Soit \(E=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\). Indiquer la valeur de vérité de :

\[ \begin{array}{lll} \varnothing\in E & \varnothing\subseteq E & \{\varnothing\}\in E\\[.35em] \{\varnothing\}\subseteq E & E\in\mathcal{P}(E) & \end{array} \]

Exercice 3

Énoncé

Montrer par double inclusion que \(\ \{n\in\mathbb{Z}\mid n^2\leq 4\}=[\![-2,2]\!]\).

Résumé

\(x\in E\) relie un élément à un ensemble ; \(E\subseteq F\) relie deux ensembles.
\(E\subseteq F\iff(\forall x\in E,\ x\in F)\) et \(E\not\subseteq F\iff(\exists x\in E,\ x\notin F)\).
\(A=B\iff(A\subseteq B\ \text{et}\ B\subseteq A)\) : c'est la méthode de la double inclusion.
\(A\in\mathcal{P}(E)\iff A\subseteq E\) ; toujours \(\varnothing\in\mathcal{P}(E)\) et \(E\in\mathcal{P}(E)\).
\(\mathrm{Card}(E)=n\Longrightarrow\mathrm{Card}(\mathcal{P}(E))=2^n\).
\(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\iff A\subseteq B\).

« Un ensemble, ce n'est qu'une manière de dire "qui est dedans" — tout le reste en découle. »

Exercice 6