Chapitre 3 · 1 Bac SM · Partie 3/3

Les applications — Composition et synthèse

Enchaîner deux applications, inverser une composée, puis mettre en pratique toutes les méthodes du chapitre sur des exercices de synthèse.

Composition des applications

Définition · composée

Soient \(f\) une application de \(E\) dans \(F\) et \(g\) une application de \(F\) dans \(G\). L'application \(h\) définie de \(E\) dans \(G\) par \(h(x)=g\big(f(x)\big)\) est appelée composée des applications \(f\) et \(g\) (dans cet ordre). Elle est notée \(g\circ f\) (on lit « \(g\) rond \(f\) ») :

\[ (\forall x\in E)\quad g\circ f(x)=g\big(f(x)\big) \]

Avec \(f(x)=x+1\) et \(g(x)=x^{2}-3\) : on applique d'abord \(f\), puis \(g\). Le raccourci ambré est \(g\circ f\).

Exemples

1) Soient \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x+1\) et \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x^{2}-3\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :

\[ (f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=f(x^{2}-3)=x^{2}-2 \qquad (g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=(x+1)^{2}-3=x^{2}+2x-2 \]

Donc \(f\circ g:x\mapsto x^{2}-2\) et \(g\circ f:x\mapsto x^{2}+2x-2\) : ici \(f\circ g\neq g\circ f\).

2) Soient \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto 4x+\dfrac{2\pi}{3}\) et \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\) :

\[ (f\circ g)(x)=4\cos\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{2\pi}{3} \qquad (g\circ f)(x)=\cos\left(\frac{4x+\frac{2\pi}{3}}{2}\right)=\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) \]

Remarques

•Il se peut que l'on puisse définir \(g\circ f\) sans pouvoir définir \(f\circ g\) (il faut que l'ensemble d'arrivée de la première soit inclus dans l'ensemble de départ de la seconde).

•Même si \(f\circ g\) et \(g\circ f\) existent, elles ne sont pas forcément égales : la composition n'est pas commutative.

•La composition est associative : pour \(f:E\to F\), \(g:F\to G\) et \(h:G\to H\), on a \(h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f\).

Application 10

Énoncé

1.Soient \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto\dfrac{x^{2}+4}{x^{2}+1}\) et \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto\dfrac{1}{3}x+2\). Déterminer \(f\circ g\), \(g\circ f\), \(f\circ f\) et \(g\circ g\).

2.Soient \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{+},\ x\mapsto x^{2}+2\) et \(g:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R},\ x\mapsto 3+\sqrt{x}\). Déterminer \(f\circ g\), \(g\circ f\) et \(f\circ f\).

3.On considère les translations du plan \(t_{\vec{u}}\) et \(t_{\vec{v}}\). Déterminer \(t_{\vec{u}}\circ t_{\vec{v}}\). (On rappelle que \(t_{\vec{u}}(M)=M'\iff\overrightarrow{MM'}=\vec{u}\).)

Proposition · composée et bijectivité

Soient \(f\) une application de \(E\) dans \(F\) et \(g\) une application de \(F\) dans \(G\).

1)Si \(f\) et \(g\) sont injectives, alors \(g\circ f\) est injective de \(E\) dans \(G\).

2)Si \(f\) et \(g\) sont surjectives, alors \(g\circ f\) est surjective de \(E\) sur \(G\).

3)Si \(f\) et \(g\) sont bijectives, alors \(g\circ f\) est bijective de \(E\) sur \(G\) et \((g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\).

4)Si \(f\) est bijective, alors \((\forall x\in E)\ f^{-1}\circ f(x)=x\) et \((\forall x\in F)\ f\circ f^{-1}(x)=x\).

Remarque · application identité

Si \(f\) est une application bijective de \(E\) vers \(F\) et \(f^{-1}\) sa réciproque, alors \(f^{-1}\circ f=\mathrm{Id}_{E}\) et \(f\circ f^{-1}=\mathrm{Id}_{F}\), où \(\mathrm{Id}_{E}:E\to E,\ x\mapsto x\) et \(\mathrm{Id}_{F}:F\to F,\ x\mapsto x\) sont les applications identiques de \(E\) et de \(F\).

Application 11

Énoncé

1. Soit \(E\) un ensemble non vide. On considère l'application \(f\) définie de \(\mathcal{P}(E)\) dans \(\mathcal{P}(E)\) par \(f(A)=\overline{A}\).

a)Montrer que \(f\) est injective.

b)Montrer que \(f\) est surjective.

c)En déduire que \(f\) est bijective puis déterminer sa bijection réciproque.

2. On considère l'application \(g\) définie de \(\left[0;\frac{1}{4}\right]\) dans \(\left[-\frac{1}{4};0\right]\) par \(g(x)=x-\sqrt{x}\). Montrer que \(g\) est bijective et déterminer sa bijection réciproque.

3. On considère l'application \(f:[1;+\infty[\to\mathbb{R},\ x\mapsto x-1-2\sqrt{x-1}\).

a)Déterminer \(f^{-1}\left(\left\{-\frac{1}{2}\right\}\right)\). \(f\) est-elle injective ?

b)Montrer que \(f([1;+\infty[)=[-1;+\infty[\). \(f\) est-elle surjective ?

c)On considère \(g:[0;+\infty[\to[-1;+\infty[,\ x\mapsto x^{2}-2x\). Déterminer une application \(h\) telle que \(f=g\circ h\).

d)Montrer que \(g\) et \(h\) sont surjectives et en déduire que \(f\) est surjective de \([1;+\infty[\) sur \([-1;+\infty[\).

4. Soit \(h\) l'application définie de \(]1;+\infty[\) dans \(]1;\sqrt{3}[\) par \(h(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+x+1}}{\sqrt{x^{2}-x+1}}\). Montrer que \(h\) est bijective et donner sa bijection réciproque.

Correction

1. a) \(f(A)=f(B)\Rightarrow\overline{A}=\overline{B}\Rightarrow\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}\Rightarrow A=B\) : \(f\) est injective.

1. b) Soit \(B\in\mathcal{P}(E)\). Alors \(\overline{B}\in\mathcal{P}(E)\) et \(f(\overline{B})=\overline{\overline{B}}=B\) : \(f\) est surjective.

1. c) \(f\) est bijective, et l'unique antécédent de \(B\) est \(\overline{B}\) : \(f^{-1}=f\).

2. Soit \(y\in\left[-\frac{1}{4};0\right]\). On pose \(t=\sqrt{x}\in\left[0;\frac{1}{2}\right]\) ; l'équation \(g(x)=y\) devient \(t^{2}-t-y=0\), de discriminant \(1+4y\in[0;1]\). Ses racines sont

\[ t_{1}=\frac{1-\sqrt{1+4y}}{2}\in\left[0;\frac{1}{2}\right] \qquad\text{et}\qquad t_{2}=\frac{1+\sqrt{1+4y}}{2}\geq\frac{1}{2} \]

\(t_{2}\) n'est dans \(\left[0;\frac{1}{2}\right]\) que si \(1+4y=0\), et alors \(t_{2}=t_{1}\). La solution est donc unique : \(x=t_{1}^{2}\in\left[0;\frac{1}{4}\right]\). Ainsi \(g\) est bijective et

\[ \begin{array}{rccl} g^{-1}: & \left[-\frac{1}{4};0\right] & \longrightarrow & \left[0;\frac{1}{4}\right] \\ & x & \longmapsto & \left(\dfrac{1-\sqrt{1+4x}}{2}\right)^{2} \end{array} \]

3. On pose \(t=\sqrt{x-1}\geq 0\) : \(f(x)=t^{2}-2t=(t-1)^{2}-1\).

a) \(f(x)=-\frac{1}{2}\iff(t-1)^{2}=\frac{1}{2}\iff t=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\) (deux valeurs positives). Comme \(x=1+t^{2}\) :

\[ f^{-1}\left(\left\{-\tfrac{1}{2}\right\}\right)=\left\{\tfrac{5}{2}-\sqrt{2}\ ;\ \tfrac{5}{2}+\sqrt{2}\right\} \]

\(-\frac{1}{2}\) a deux antécédents : \(f\) n'est pas injective.

b) Pour tout \(x\geq 1\), \(f(x)=(t-1)^{2}-1\geq -1\). Réciproquement, pour \(y\geq -1\), \(t=1+\sqrt{y+1}\geq 0\) et \(x=1+t^{2}\) donnent \(f(x)=y\). Donc \(f([1;+\infty[)=[-1;+\infty[\neq\mathbb{R}\) : \(f\) n'est pas surjective (sur \(\mathbb{R}\)).

c) \(h:[1;+\infty[\to[0;+\infty[,\ x\mapsto\sqrt{x-1}\) convient : \(g\big(h(x)\big)=(x-1)-2\sqrt{x-1}=f(x)\).

d) Pour \(y\geq 0\), \(h(1+y^{2})=y\) : \(h\) est surjective. Pour \(y\geq -1\), \(g\big(1+\sqrt{y+1}\big)=y\) : \(g\) est surjective. Donc \(f=g\circ h\) est surjective de \([1;+\infty[\) sur \([-1;+\infty[\).

4. Pour \(x > 1\), posons \(u=h(x)^{2}=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\). En divisant par \(x\) :

\[ u=\frac{s+1}{s-1}\quad\text{avec}\quad s=x+\frac{1}{x} \]

Soit \(y\in\,]1;\sqrt{3}[\) et \(u=y^{2}\in\,]1;3[\). L'équation \(\dfrac{s+1}{s-1}=u\) a pour unique solution \(s=\dfrac{u+1}{u-1}\), et \(u < 3\iff s > 2\). Enfin, pour \(s > 2\), l'équation \(x+\dfrac{1}{x}=s\), soit \(x^{2}-sx+1=0\), a deux racines positives de produit \(1\) ; une seule est \(> 1\) : \(x=\dfrac{s+\sqrt{s^{2}-4}}{2}\). L'équation \(h(x)=y\) admet donc une unique solution : \(h\) est bijective.

Avec \(s=\dfrac{y^{2}+1}{y^{2}-1}\) et \(s^{2}-4=\dfrac{(3-y^{2})(3y^{2}-1)}{(y^{2}-1)^{2}}\), on obtient :

\[ \begin{array}{rccl} h^{-1}: & ]1;\sqrt{3}[ & \longrightarrow & ]1;+\infty[ \\ & x & \longmapsto & \dfrac{x^{2}+1+\sqrt{(3-x^{2})(3x^{2}-1)}}{2(x^{2}-1)} \end{array} \]

Méthodes et exercices de synthèse

Méthode · injectivité

•Pour prouver que \(f:E\to F\) est injective, on rédige : « Soient \(x\) et \(x'\) deux éléments de \(E\) tels que \(f(x)=f(x')\). (…) Ainsi \(x=x'\), donc \(f\) est injective. »

•Pour montrer que \(f\) n'est pas injective, il suffit de trouver \(x\neq x'\) dans \(E\) tels que \(f(x)=f(x')\) : on calcule les images de quelques points particuliers.

Méthode · surjectivité

•On regarde d'abord s'il est possible de prouver directement l'égalité \(f(E)=F\).

•Sinon on rédige : « Soit \(y\in F\). On résout l'équation \(y=f(x)\) dans \(E\). (…) Ainsi \(f\) est surjective. » On cherche plus ou moins explicitement un \(x\) dont l'image est \(y\).

•Pour montrer que \(f\) n'est pas surjective, il suffit de trouver un \(y\in F\) tel que l'équation \(y=f(x)\) n'ait pas de solution dans \(E\).

Méthode · bijectivité et réciproque

•Exercices théoriques : on prouve souvent que \(f\) est à la fois injective et surjective.

•Exercices pratiques : on résout \(y=f(x)\) dans \(E\) et on montre qu'elle a une unique solution ; on obtient en même temps l'expression de \(f^{-1}\).

•Si \(f\) est une composée d'applications bijectives, elle est bijective ; si \(f=g\circ h\), alors \(f^{-1}=h^{-1}\circ g^{-1}\).

•Si on devine \(g\) et qu'on montre \(g\circ f=\mathrm{Id}_{E}\) et \(f\circ g=\mathrm{Id}_{F}\), alors \(f\) est bijective et \(g=f^{-1}\). Une seule des deux égalités ne suffit pas : avec \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N},\ n\mapsto n+1\) et \(g(0)=0\), \(g(n)=n-1\) pour \(n\geq 1\), on a \(g\circ f=\mathrm{Id}_{\mathbb{N}}\) mais \(f\) n'est pas surjective.

•Quand on donne \(f^{-1}\), on précise son ensemble de départ (l'arrivée de \(f\)), son ensemble d'arrivée (le départ de \(f\)) et l'image de tout \(y\) : \(f^{-1}:\ ?\to\ ?,\ \ ?\mapsto\ ?\).

Exercice A · injective, surjective

Énoncé

On considère l'application \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto\dfrac{x(1-x)^{2}}{(1+x^{2})^{2}}\).

1.a) Vérifier que pour tout \(x\in\mathbb{R}^{*}\) : \(f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x)\). b) \(f\) est-elle injective ?

2.a) Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(f(x)\leq\frac{1}{4}\). b) \(f\) est-elle surjective ?

Exercice B · bijection réciproque

Énoncé

Soit \(E\) un ensemble non vide ; \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\) telles que \(A\cap B=\varnothing\) et \(A\cup B=E\). On considère l'application \(F:\mathcal{P}(E)\to\mathcal{P}(A)\times\mathcal{P}(B),\ X\mapsto(X\cap A;X\cap B)\).

1.Montrer que \(F\) est bijective.

2.Déterminer \(F^{-1}\).

Exercice C · image directe, image réciproque

Énoncé

On considère les applications \(f,g:\,]1;+\infty[\,\to\,]1;+\infty[\) définies par \(f(x)=1+\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}\) et \(g(x)=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)^{2}\).

1.Déterminer \(f([2;4[)\) et \(g^{-1}(\{9\})\).

2.Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(]1;+\infty[\) sur \(]1;+\infty[\) puis déterminer \(f^{-1}\).

3.a) Vérifier que pour tout \(x\in\,]1;+\infty[\) : \(g(x)=\big(f(x)\big)^{2}\). b) En déduire que \(g\) est bijective et déterminer \(g^{-1}\).

Exercice D · bijection réciproque et ensembles

Énoncé

Soit \(A\) une partie non vide d'un ensemble \(E\). On considère les applications :

\[ f:\begin{array}{ccl}\mathcal{P}(E) & \to & \mathcal{P}(A)\times\mathcal{P}(\overline{A}) \\ X & \mapsto & (A\setminus X\ ;\ \overline{A}\setminus X)\end{array} \quad g:\begin{array}{ccl}\mathcal{P}(A)\times\mathcal{P}(\overline{A}) & \to & \mathcal{P}(E) \\ (X;Y) & \mapsto & X\cup Y\end{array} \quad h:\begin{array}{ccl}\mathcal{P}(E) & \to & \mathcal{P}(E) \\ X & \mapsto & \overline{X}\end{array} \]

1.Montrer que \(h\) est bijective et que \(h^{-1}=h\).

2.Montrer que \(g\circ f=h\).

3.Montrer que \(g\) est injective et surjective. En déduire que \(g\) est bijective.

4.En déduire que \(f\) est bijective et déterminer \(f^{-1}\).

À retenir

\(f:E\to F\) est une application si \((\forall x\in E)(\exists!\,y\in F)\ ;\ y=f(x)\).
\(f=g\) : même départ, même arrivée, mêmes images.
\(y\in f(A)\iff(\exists x\in A)\ ;\ y=f(x)\) et \(x\in f^{-1}(B)\iff f(x)\in B\).
\(f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)\), mais seulement \(f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)\) ; \(f^{-1}\) respecte \(\cup\) et \(\cap\).
Injective : au plus un antécédent — \(f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'\).
Surjective : au moins un antécédent — \(f(E)=F\).
Bijective : exactement un antécédent — injective et surjective ; on obtient \(f^{-1}\) en résolvant \(y=f(x)\).
\(g\circ f(x)=g\big(f(x)\big)\) ; pas commutative mais associative ; \((g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\).