Algèbre linéaire · CPGE 2ECS3

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Valeurs propres, sous-espaces propres, polynômes annulateurs et diagonalisation : le cours complet, avec tous les exercices corrigés en détail.

Partie A — Éléments propres d'un endomorphisme et d'une matrice

Définitions

Valeur propre et vecteur propre

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\geq1\), \(f\in\mathcal L(E)\) et \(A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})\).

Un réel \(\lambda\) est une valeur propre de \(f\) s'il existe un vecteur non nul \(x\) dans \(E\) tel que \(f(x)=\lambda x\). Le vecteur \(x\) s'appelle alors un vecteur propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda\). On note \(\mathrm{sp}(f)\) l'ensemble des valeurs propres de \(f\) : le spectre de \(f\).

De même, \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\) s'il existe \(X\neq0\) dans \(\mathcal M_{(n,1)}(\mathbb{R})\) tel que \(A.X=\lambda X\) ; \(X\) est alors un vecteur propre de \(A\), et \(\mathrm{sp}(A)\) le spectre de \(A\).

Sous-espace propre

Si \(\lambda\in\mathrm{sp}(f)\), \(\ker(f-\lambda.\mathrm{id}_E)\) s'appelle le sous-espace propre de \(f\) associé à \(\lambda\) :

\[ E_\lambda = \ker(f-\lambda.\mathrm{id}_E). \]

Si \(\lambda\in\mathrm{sp}(A)\), \(\ker(A-\lambda.I_n)\) est le sous-espace propre de \(A\) associé à \(\lambda\) :

\[ E_\lambda = \ker(A-\lambda.I_n). \]

Exemple

Pour \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}\) : \(A\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} =2\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) et \(A\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\). Donc \(2\) et \(-1\) sont valeurs propres de \(A\), de vecteurs propres respectifs \((1,0)\) et \((0,1)\), et

\[ E_2=\mathrm{Vect}\big((1,0)\big), \qquad E_{-1}=\mathrm{Vect}\big((0,1)\big). \]

Caractérisation d'une valeur propre

Propriété

Soit \(\lambda\in\mathbb{R}\). On a :

\[ \lambda\in\mathrm{sp}(f) \iff \ker(f-\lambda.\mathrm{id}_E)\neq\{0_E\} \iff f-\lambda.\mathrm{id}_E \text{ n'est pas injectif} \iff \mathrm{rg}(f-\lambda.\mathrm{id}_E) < n \iff f-\lambda.\mathrm{id}_E \text{ n'est pas surjectif.} \] \[ \lambda\in\mathrm{sp}(A) \iff \ker(A-\lambda.I_n)\neq\{0_E\} \iff A-\lambda.I_n \text{ n'est pas inversible} \iff \mathrm{rg}(A-\lambda.I_n) < n \iff \text{le nombre de pivots non nuls d'une échelonnée de } A-\lambda.I_n \text{ est } < n. \]

Remarque

Soit \(A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})\). Alors \(A\) n'est pas inversible \(\iff 0\in\mathrm{sp}(A)\).

Exemple

Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\). Pour \(\lambda=3\) : \(A-3I_2=\begin{pmatrix}-2&2\\2&-2\end{pmatrix}\), dont les deux lignes sont proportionnelles, donc \(\mathrm{rg}(A-3I_2)=1 < 2\) : \(3\in\mathrm{sp}(A)\) (vecteur propre \((1,1)\)). En revanche \(\det(A)=1-4=-3\neq0\) : \(A\) est inversible, donc \(0\notin\mathrm{sp}(A)\).

Exercice 1

Énoncé

Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\6&-3\end{pmatrix}\in\mathcal M_2(\mathbb{R})\).

1.Montrer que \(\mathrm{sp}(A)=\{-4,3\}\). \(A\) est-elle inversible ?

2.Déterminer les sous-espaces propres \(E_{-4}\) et \(E_3\) de \(A\), et donner une base de chacun.

Exercice 2

Énoncé

Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&1&1\\1&3&1\\1&1&3\end{pmatrix}\) la matrice, dans la base canonique \(\beta=(e_1,e_2,e_3)\), d'un endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^3\).

1.Pour \(\lambda\in\mathbb{R}\), on pose \(B=A-\lambda.I_3\). Montrer que \(\mathrm{rg}(B)=3\iff\lambda\in\mathbb{R}-\{5,2\}\), \(\mathrm{rg}(B)=2\iff\lambda=5\), \(\mathrm{rg}(B)=1\iff\lambda=2\), et en déduire \(\mathrm{sp}(A)\).

2.On pose \(E=\ker(f-2\mathrm{id})\), \(F=\ker(f-5\mathrm{id})\), \(u=(1,0,-1)\), \(v=(0,1,-1)\), \(w=(1,1,1)\). Déterminer \(\dim(E)\) et \(\dim(F)\).

3.Montrer que \((u,v)\) est une base de \(E\) et que \((w)\) est une base de \(F\).

4.Montrer que \(E\) et \(F\) sont supplémentaires dans \(\mathbb{R}^3\).

Exercice d'application — matrice triangulaire

Énoncé

Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&2&-1\\0&-1&4\\0&0&2\end{pmatrix}\). Donner \(\mathrm{sp}(A)\) sans calcul, puis dire si \(A\) est inversible.

Polynômes de \(f\) et de \(A\)

Proposition

Soit \(Q\in\mathbb{R}[X]\). Alors \(Q(f)\in\mathcal L(E)\) et \(Q(A)\in\mathcal M_n(\mathbb{R})\), et pour tout \(\lambda\in\mathbb{R}\) :

\[ \lambda\in\mathrm{sp}(f)\ \Rightarrow\ Q(\lambda)\in\mathrm{sp}\big(Q(f)\big), \qquad \lambda\in\mathrm{sp}(A)\ \Rightarrow\ Q(\lambda)\in\mathrm{sp}\big(Q(A)\big). \]

Démonstration

Conséquence immédiate de la remarque ci-dessous : si \(f(x)=\lambda x\) avec \(x\neq0\), alors \(Q(f)(x)=Q(\lambda)x\) avec \(x\neq0\), donc \(Q(\lambda)\) est bien une valeur propre de \(Q(f)\), de vecteur propre \(x\). Même raisonnement pour \(A\).

Remarque

Pour tout \(\lambda\in\mathbb{R}\) : s'il existe \(x\in E\) tel que \(f(x)=\lambda x\), alors \(Q(f)(x)=Q(\lambda).x\) ; s'il existe \(X\in\mathcal M_{(n,1)}(\mathbb{R})\) tel que \(A.X=\lambda X\), alors \(Q(A).X=Q(\lambda).X\).

Démonstration

Par récurrence sur \(k\in\mathbb{N}\), \(f^k(x)=\lambda^k x\) (immédiat : \(f^{k+1}(x)=f(f^k(x))= f(\lambda^k x)=\lambda^k f(x)=\lambda^{k+1}x\)). Si \(Q=\sum_{k=0}^p a_kX^k\), par linéarité de \(Q(f)=\sum a_k f^k\) :

\[ Q(f)(x)=\sum_{k=0}^p a_k f^k(x)=\sum_{k=0}^p a_k\lambda^k x = Q(\lambda)\,x. \]

Le même calcul, avec \(A^kX=\lambda^kX\), donne \(Q(A).X=Q(\lambda).X\).

Exemple

Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&0\\0&-2\end{pmatrix}\) et \(Q(X)=X^2-1\). Les valeurs propres de \(A\) sont \(3\) et \(-2\), donc \(Q(3)=8\) et \(Q(-2)=3\) doivent être valeurs propres de \(Q(A)\). Et en effet :

\[ Q(A)=A^2-I_2=\begin{pmatrix}9&0\\0&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8&0\\0&3\end{pmatrix}, \]

dont les valeurs propres sont bien \(8=Q(3)\) et \(3=Q(-2)\).

Polynômes annulateurs

Proposition

Soit \(Q\in\mathbb{R}[X]\) tel que \(Q(f)=0_{\mathcal L(E)}\) (ou \(Q(A)=0_{\mathcal M_n(\mathbb{R})}\)). Alors toute racine réelle de \(Q\) est une valeur propre possible de \(f\) (ou de \(A\)) ; réciproquement, toute valeur propre de \(f\) (ou de \(A\)) est une racine de \(Q\).

\(f\in\mathcal L(E)\) et \(A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})\) admettent toujours au moins un polynôme annulateur de degré au plus \(n\).

Démonstration

Si \(Q(f)=0\) et \(f(x)=\lambda x\) avec \(x\neq0\), alors \(0=Q(f)(x)=Q(\lambda)x\), donc \(Q(\lambda)=0\) : toute valeur propre est racine de \(Q\). L'existence d'un annulateur de degré \(\leq n\) est une conséquence du théorème de Cayley-Hamilton (admis à ce niveau) : le polynôme caractéristique de \(f\) (ou de \(A\)), de degré \(n\), annule \(f\) (ou \(A\)).

Exemples

Si \(f\) est un projecteur (\(f^2=f\)), \(Q(X)=X^2-X\) annule \(f\), donc \(\mathrm{sp}(f)\subseteq\{0,1\}\). Idem pour une matrice de projection.

Si \(f\) est une symétrie (\(f^2=\mathrm{id}_E\)), \(Q(X)=X^2-1\) annule \(f\), donc \(\mathrm{sp}(f)\subseteq\{-1,1\}\). Idem pour une matrice de symétrie.

Si \(f\) est une homothétie \(f=K.\mathrm{id}_E\), \(Q(X)=X-K\) annule \(f\), donc \(\mathrm{sp}(f)=\{K\}\).

Si \(A\) est triangulaire (ou diagonale), ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux.

Pour \(A=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\in\mathcal M_2(\mathbb{R})\), \(P_A(X)=X^2-\mathrm{tr}(A)X+\det(A)\) est un polynôme annulateur de \(A\), et les valeurs propres de \(A\) sont les racines de \(P_A\).

Exercice d'application — un projecteur explicite

Énoncé

Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\).

1.Vérifier que \(A^2=A\) (donc \(A\) est la matrice d'un projecteur).

2.Retrouver \(\mathrm{sp}(A)\) par le calcul direct du polynôme caractéristique, et vérifier que \(\mathrm{sp}(A)\subseteq\{0,1\}\).

3.Donner une base de \(E_0\) et de \(E_1\).

Nombre de valeurs propres, somme directe

Propriété

\(f\in\mathcal L(E)\) et \(A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})\) admettent au plus \(n\) valeurs propres, et les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes deux à deux forment une somme directe. Précisément, si \(\lambda_1,\dots,\lambda_p\) sont des valeurs propres distinctes de \(f\) (ou de \(A\)) :

\[ \sum_{k=1}^p \ker(f-\lambda_k.\mathrm{id}_E) = \ker(f-\lambda_1.\mathrm{id}_E)\oplus\cdots\oplus \ker(f-\lambda_p.\mathrm{id}_E). \]

On a de plus \(\displaystyle\sum_{k=1}^p\dim\ker(f-\lambda_k.\mathrm{id}_E)\leq n\), toute concaténation de familles libres des sous-espaces propres est libre, et toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes deux à deux est libre.

Démonstration

Récurrence sur \(p\). Pour \(p=1\), immédiat. Supposons le résultat acquis pour \(p-1\) sous-espaces propres, et soit \(x_1+\cdots+x_p=0\) avec \(x_k\in E_{\lambda_k}\). En appliquant \(f-\lambda_p.\mathrm{id}_E\) : comme \((f-\lambda_p\mathrm{id})(x_p)=0\) et \((f-\lambda_p\mathrm{id})(x_k)=(\lambda_k-\lambda_p)x_k\), on obtient \(\sum_{k=1}^{p-1}(\lambda_k-\lambda_p)x_k=0\). Par hypothèse de récurrence (somme directe des \(p-1\) premiers), chaque \((\lambda_k-\lambda_p)x_k=0\) ; comme \(\lambda_k\neq\lambda_p\), \(x_k=0\) pour \(k

Exemple

Reprenons \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\6&-3\end{pmatrix}\) de l'exercice 1 : \(\mathrm{sp}(A)=\{-4,3\}\), avec \(E_{-4}=\mathrm{Vect}\big((1,-6)\big)\) et \(E_3=\mathrm{Vect}\big((1,1)\big)\). Les vecteurs \((1,-6)\) et \((1,1)\) ne sont pas colinéaires : la famille \(\big((1,-6),(1,1)\big)\) est libre, et

\[ E_{-4}\oplus E_3 = \mathrm{Vect}\big((1,-6)\big)\oplus\mathrm{Vect}\big((1,1)\big) = \mathbb{R}^2. \]

Partie B — Réduction d'un endomorphisme et d'une matrice carrée

Endomorphisme diagonalisable

Définition

On dit que \(f\) est diagonalisable si \(E\) admet une base \(\mathcal B\) où \(\mathrm{mat}_{\mathcal B}(f)\) est diagonale. Ce qui équivaut à : \(E\) admet une base formée de vecteurs propres de \(f\).

Exemple

\(\mathrm{id}_E\) est trivialement diagonalisable : sa matrice dans toute base est \(I_n\), déjà diagonale. À l'inverse, l'endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) de matrice \(\displaystyle\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) n'est pas diagonalisable : sa seule valeur propre est \(1\) (matrice triangulaire), mais \(\ker(A-I_2)=\mathrm{Vect}\big((1,0)\big)\) est de dimension \(1 < 2\) — il n'existe pas de base de \(\mathbb{R}^2\) formée de vecteurs propres de \(A\).

Caractérisation de la diagonalisabilité

Propriété \[ f \text{ est diagonalisable} \iff \sum_{\lambda\in\mathrm{sp}(f)}\dim\ker(f-\lambda.\mathrm{id}_E)=\dim(E)=n \iff E \text{ est somme directe des sous-espaces propres de } f \iff \text{tous les sous-espaces propres de } f \text{ sont supplémentaires dans } E. \]

Remarque

Si \(\mathrm{card}\big(\mathrm{sp}(f)\big)=n\) (c'est-à-dire \(f\) a \(n\) valeurs propres distinctes), alors \(f\) est automatiquement diagonalisable et tous ses sous-espaces propres sont des droites vectorielles.

Exemple

Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&5\end{pmatrix}\). \(\mathrm{sp}(A)=\{3,5\}\), avec \(\mathrm{card}(\mathrm{sp}(A))=2 < 3=n\) : le critère « \(n\) valeurs propres distinctes » ne s'applique pas ici directement. Mais \(\dim E_3=2\) et \(\dim E_5=1\), donc \(2+1=3=n\) : \(A\) est bien diagonalisable (ici elle est même déjà diagonale).

Matrices diagonalisables

Définition et caractérisation

\(A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})\) est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, ce qui équivaut à l'existence d'une matrice diagonale \(D\) et d'une matrice inversible \(P\) telles que

\[ A = PDP^{-1}. \]

Les valeurs propres de \(A\) sont alors les coefficients diagonaux de \(D\), et les colonnes de \(P\) sont des vecteurs propres de \(A\) associés (dans l'ordre) aux valeurs propres de \(D\) ; elles forment une base de \(\mathcal M_{(n,1)}(\mathbb{R})\).

Exemple — lire la formule dans l'autre sens

Avec \(\displaystyle P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\) et \(\displaystyle D=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}\), on a \(\displaystyle P^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\) (car \(P^2=2I_2\)), donc

\[ A=PDP^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}2&-1\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac12&\frac32\\[2pt]\frac32&\frac12\end{pmatrix}. \]

Cette matrice \(A\) est diagonalisable par construction : ses valeurs propres sont \(2\) et \(-1\), de vecteurs propres respectifs \((1,1)\) et \((1,-1)\) — les colonnes de \(P\).

Remarques

\(A\) est diagonalisable \(\iff\) \(\mathcal M_{(n,1)}(\mathbb{R})\) admet une base de vecteurs propres de \(A\).

Si \(\mathrm{card}\big(\mathrm{sp}(A)\big)=n\), \(A\) est diagonalisable et tous ses sous-espaces propres sont des droites vectorielles.

Si \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) sont les valeurs propres de \(A\), \(\mathrm{tr}(A)=\sum_{k=1}^n\lambda_k\).

S'il existe \(\lambda\in\mathbb{R}\) tel que \(A-\lambda.I_n\) est nilpotente, alors \(\mathrm{sp}(A)=\{\lambda\}\). En particulier, si \(A\) est nilpotente, \(\mathrm{sp}(A)=\{0\}\) et \(\mathrm{tr}(A)=0\).

Si \(A\) admet un polynôme annulateur de degré \(p\geq1\) à racines simples, \(A\) est diagonalisable.

Si \(A\) est triangulaire ou diagonale, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux.

Exercice d'application — diagonaliser et calculer \(A^n\)

Énoncé

Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}\).

1.Calculer \(\mathrm{sp}(A)\) et vérifier que \(A\) est diagonalisable.

2.Diagonaliser \(A\) : donner \(P\), \(D\) et \(P^{-1}\).

3.En déduire \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

Exercice 3

Énoncé

Soit \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\), \((x,y,z)\mapsto(2x+y+z,\ x+2y+z,\ x+y+2z)\).

1.Montrer que \(f\) est une application linéaire.

2.Donner la matrice \(A\) de \(f\) dans la base canonique \(\beta\).

3.Calculer \(\mathrm{sp}(A)\) et en déduire que \(f\) est diagonalisable.

4.Déterminer une base \(\beta'\) de diagonalisation.

5.Déterminer la matrice \(D\) de \(f\) dans \(\beta'\).

6.Donner la relation entre \(A\), \(P\), \(P^{-1}\) et \(D\).

7.Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), calculer \(A^n\).

8.Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), calculer \(\mathrm{tr}(A^n)\).

Exercice 4

Énoncé

Diagonaliser les matrices suivantes :

\[ A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-2&0&-1\\-2&-2&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&-2&2\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0&3&3\\-2&6&2\\2&-3&0\end{pmatrix}. \]

Correction

Matrice \(A\). \(\mathrm{tr}(A)=2\), \(\det(A)=-2\), somme des mineurs principaux \(2\times2\) égale à \(-1\), d'où \(P_A(X)=X^3-2X^2-X+2=(X-1)(X-2)(X+1)\) : trois valeurs propres distinctes \(1,2,-1\), donc \(A\) est diagonalisable. On trouve les vecteurs propres \(v_1=(-1,1,1)\) (pour \(\lambda=1\)), \(v_2=(-1,1,0)\) (pour \(\lambda=2\)), \(v_3=(0,1,1)\) (pour \(\lambda=-1\)), donc

\[ A=PDP^{-1},\quad P=\begin{pmatrix}-1&-1&0\\1&1&1\\1&0&1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{pmatrix}. \]

Matrice \(B\). \(B\) est triangulaire inférieure : \(\mathrm{sp}(B)=\{1,2\}\) avec \(1\) de multiplicité \(2\). \(B-I_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&-2&1\end{pmatrix}\) est de rang \(1\), donc \(\dim E_1=2\) : la multiplicité géométrique égale la multiplicité algébrique, \(B\) est diagonalisable. Base de \(E_1\) : \((2,1,0)\) et \((-1,0,1)\) (solutions de \(x-2y+z=0\)). Base de \(E_2\) : \((0,0,1)\). Donc

\[ B=PDP^{-1},\quad P=\begin{pmatrix}2&-1&0\\1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}. \]

Matrice \(C\). \(\mathrm{tr}(C)=6\), \(\det(C)=-6\), somme des mineurs principaux \(2\times2\) égale à \(6\), d'où

\[ P_C(X)=X^3-6X^2+6X+6. \]

Ce polynôme n'a aucune racine rationnelle (aucun des diviseurs de \(6\) ne l'annule) ; l'étude de son signe montre qu'il possède trois racines réelles simples, l'une entre \(-1\) et \(0\), une deuxième entre \(2\) et \(3\), une troisième entre \(4\) et \(5\). Trois racines réelles distinctes garantissent que \(C\) est diagonalisable, mais sans expression simple des valeurs et vecteurs propres.

Remarque (signalement) : ce profil (polynôme caractéristique à coefficients entiers mais sans racine entière) est inhabituel pour un exercice de ce niveau ; il est probable qu'une coquille se soit glissée dans l'énoncé d'origine sur un coefficient de \(C\). La méthode ci-dessus reste la bonne à appliquer avec les valeurs exactes de votre énoncé.

Exercice 5

Énoncé

Soient \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&0&4\\1&0&-8\\0&1&5\end{pmatrix}\) et \(\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&1&1\\0&0&-2\\0&1&3\end{pmatrix}\). Montrer que ces deux matrices sont semblables.

Exercice 6

Énoncé

Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&2\end{pmatrix}\).

1.Calculer \((A-I_3)^2\) et \((A-I_3)^3\). En déduire \(\mathrm{sp}(A)\).

2.\(A\) est-elle diagonalisable ?

3.Montrer que \(A\) est semblable à \(B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\).

Exercice 7

Énoncé

Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}-4&-6&0\\3&5&0\\3&6&5\end{pmatrix}\).

1.Montrer que \(A\) est diagonalisable.

2.Diagonaliser \(A\).

3.Calculer \(A^n\) en fonction de \(n\in\mathbb{N}\).

Exercice 8

Énoncé

Montrer que la matrice \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-4\\1&-2\end{pmatrix}\) n'est pas diagonalisable.

Exercice d'application — matrice non diagonalisable via \(A-\lambda I\) nilpotente

Énoncé

Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}\).

1.Montrer que \(A-2I_3\) est nilpotente, et en déduire \(\mathrm{sp}(A)\).

2.\(A\) est-elle diagonalisable ?

Exercice 9 — CNAEM ECS 2015

Énoncé

Soit \(E\) un espace vectoriel et \(\beta=(e_1,e_2,e_3)\) une base de \(E\). Pour tout réel \(a\), on considère l'endomorphisme \(f_a\) de matrice, dans la base \(\beta\) :

\[ M_a=\begin{pmatrix}1&1-a&1-a\\a-2&2a-1&a\\2-a&1-a&0\end{pmatrix}. \]

Partie 1

1.Montrer que \(\lambda\) est valeur propre de \(f_a\) si et seulement si \(\lambda\) est racine du polynôme \(Q_a(X)=-(X-1)(X-a+1)(X-a)\).

2.Pour quelle(s) valeur(s) de \(a\) la matrice \(M_a\) est-elle inversible ?

3.aEn déduire les valeurs propres de \(f_a\).

3.bDans quels cas les valeurs propres sont-elles d'ordre de multiplicité \(2\) ? Justifier.

Partie 2 — On pose \(\beta'=(e_1',e_2',e_3')\) avec

\[ e_1'=e_1-e_2+e_3,\qquad e_2'=e_1-2e_2+e_3,\qquad e_3'=-e_2+e_3. \]

a)Vérifier que \(\beta'\) est une base de \(E\).

b)Vérifier que \(e_1'\), \(e_2'\), \(e_3'\) sont des vecteurs propres de \(f_a\).

c)Déterminer la matrice \(P\) de passage de \(\beta\) à \(\beta'\).

d)Prouver que \(M_a\) est diagonalisable.

e)Montrer qu'il existe une matrice diagonale \(D_a\), à préciser, telle que \(M_a=PD_aP^{-1}\).

À retenir

\(\lambda\in\mathrm{sp}(A)\iff A-\lambda I_n\) non inversible \(\iff \mathrm{rg}(A-\lambda I_n) < n\).
Un polynôme annulateur limite l'ensemble des valeurs propres possibles ; ses racines simples suffisent à garantir la diagonalisabilité.
\(n\) valeurs propres distinctes \(\Rightarrow\) diagonalisable automatiquement ; sinon, il faut comparer, pour chaque valeur propre, sa multiplicité algébrique (dans le polynôme caractéristique) et sa multiplicité géométrique (\(\dim\ker(A-\lambda I_n)\)).
\(A\) diagonalisable \(\iff\) la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut \(n\).
Une fois \(A=PDP^{-1}\) obtenue, \(A^n=PD^nP^{-1}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique et mêmes dimensions de sous-espaces propres pour chaque valeur propre — l'inverse n'est pas toujours vrai (voir l'exercice 5).