Partie 4

Monotonie

Le signe de \(f'\) sur un intervalle gouverne entièrement les variations de \(f\) : c'est l'outil central du tableau de variations.

Monotonie

Proposition

Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\).

\[ \begin{aligned} f\text{ constante sur }I&\iff \forall x\in I,\ f'(x)=0,\\ f\text{ croissante sur }I&\iff \forall x\in I,\ f'(x)\ge0,\\ f\text{ décroissante sur }I&\iff \forall x\in I,\ f'(x)\le0. \end{aligned} \]

Ces résultats exigent que \(I\) soit un intervalle. Si \(f'>0\) sur \(I\) sauf éventuellement en un nombre fini de points, alors \(f\) est strictement croissante ; de même, \(f'<0\) implique la stricte décroissance sous la même réserve.

Lecture du signe de \(f'\) sur un tableau de variations

\(x\)	\(a\) \(x_1\) \(b\)
\(f'(x)\)	\(+\) \(0\) \(-\)
\(f\)	\(f(x_1)\)

\(f'\ge0\) sur \(]a,x_1[\) : \(f\) y est croissante (flèche montante). \(f'\le0\) sur \(]x_1,b[\) : \(f\) y est décroissante (flèche descendante). Le point où \(f'\) change de signe, ici \(x_1\), est un extremum local de \(f\).

Exemple

Énoncé

Soit \(F:\mathbb{R}_+^*\to\mathbb{R}\), \(F(x)=\arctan x+\arctan(1/x)\). Montrer que \(F\) est constante sur \(\mathbb{R}_+^*\) et calculer cette constante.

Solution

Pour tout \(x>0\),

\[ F'(x)=\frac1{1+x^2}-\frac{1/x^2}{1+1/x^2}=0. \]

Donc \(F\) est constante sur \(\mathbb{R}_+^*\). Comme \(F(1)=\pi/2\),

\[ \forall x>0,\quad\boxed{\arctan x+\arctan\frac1x=\frac\pi2}. \]