Module 1 · DS 1

Devoir surveillé : Continuité et fonction réciproque

Limites, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, bijection, fonction réciproque et fonction arctangente.

Niveau 2 Bac SM Durée 2 h Calculatrice non autorisée Exercices 3

Consignes

Toute réponse doit être soigneusement justifiée.

La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements seront prises en compte.

Exercice 1 Questions indépendantes

Calculer les limites suivantes :
\[\lim_{x\to1}\left(\frac{1}{2\left(1-\sqrt{x}\right)}-\frac{1}{3\left(1-\sqrt[3]{x}\right)}\right)\]
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3+\sin(2x)-2\sin x}{\arctan\left(x^3\right)-\left(\arctan x\right)^3}\]
\[\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}-2\sqrt[6]{x}}{\sqrt{x}-\sqrt[12]{x^5}}\]
Soit \(n\) un entier naturel non nul et différent de \(2\). On considère la fonction \(f\) définie par :

\[ \begin{cases} f(x)=\dfrac{x^{n+3}-(n+2)x^2+n+1}{-x^2+1}, & x\gt 1,\\[12pt] f(x)=\dfrac{\left(x^n+x^{n-1}+\cdots+x\right)-1}{nx-2}, & x\le 1. \end{cases} \]

Déterminer la valeur de \(n\) pour laquelle la fonction \(f\) est continue en \(1\).
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \(ab\lt 1\).
Montrer que : \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}\lt \arctan(a)+\arctan(b)\lt \frac{\pi}{2}\).
En déduire que : \(\displaystyle \arctan(a)+\arctan(b)=\arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)\).
Calculer en fonction de \(n\in\mathbb{N}^*\) : \[S_n=\sum_{k=1}^{n}\arctan\left(\frac{1}{2k^2}\right)\qquad\text{et}\qquad T_n=\sum_{k=1}^{n}\arctan\left(\frac{1}{k^2+3k+1}\right).\]
Soit \(f\) une fonction définie de \([a;b]\) vers \([a;b]\) telle que :

\[\forall (x,y)\in[a;b]^2,\quad x\ne y\ \Longrightarrow\ |f(x)-f(y)|\lt |x-y|.\]
Montrer que \(f\) est continue sur \([a;b]\).
Montrer qu'il existe un unique \(\alpha\in[a;b]\) tel que \(f(\alpha)=\alpha\).
Soient \(x_1,x_2,\dots,x_n\) des éléments de \([a;b]\) \((n\ge 2)\). Montrer que : \[\exists c\in[a;b],\quad f(c)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i).\]

Exercice 2 Continuité, bijection et réciproque

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left]-\infty;\dfrac{\pi}{2}\right[\) par :

\[ f(x)= \begin{cases} \sqrt[3]{1-x}+x-1, & \text{si }x\lt 0,\\[8pt] \arctan\left(\sqrt[3]{x}+\tan(x)\right), & \text{si }x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[. \end{cases} \]

Montrer que \(f\) est continue en \(0\).
Calculer les limites : \[\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x},\qquad \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)}{x},\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x),\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}.\]
Soit \(g\) la restriction de \(f\) à l'intervalle \(I=\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[\).
Montrer que \(g\) est strictement croissante sur \(I\).
Montrer que \(g\) réalise une bijection de \(I\) sur \(I\). On note \(g^{-1}\) la fonction réciproque de \(g\).
Résoudre dans \(I\) l'équation \(g^{-1}(x)=x\).
Montrer que : \((\forall x\in I)\quad g^{-1}(x)\le x\).

Exercice 3 Fonction arctangente et racines n-ièmes

Soit \(f\) la fonction définie par :

\[f(x)=\arctan\left(\frac{2\sqrt[3]{x}-\sqrt[12]{x^7}}{4\sqrt[3]{x}-\sqrt[12]{x^7}}\right).\]

Montrer que : \(D_f=\left]0;256\right[\cup\left]256;+\infty\right[\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)\).

2. On considère la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \([256;+\infty[\) par :

\[ \begin{cases} g(x)=f(x), & x\in\left]256;+\infty\right[,\\[8pt] g(256)=\dfrac{\pi}{2}. \end{cases} \]

Vérifier que : \[(\forall x\gt 256)\qquad g(x)=\arctan\left(\frac{x^{\frac14}-2}{x^{\frac14}-4}\right).\]
Montrer que \(g\) est continue sur l'intervalle \([256;+\infty[\).
Montrer que : \[(\forall x\gt 256)\left(\exists!\,\alpha\in\left]-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right[\right)\qquad \tan\alpha=3-\sqrt[4]{x}.\]
En déduire que : \[(\forall x\in[256;+\infty[)\qquad g(x)=\frac{3\pi}{4}+\arctan\left(3-\sqrt[4]{x}\right).\]

Remarque. Toute réponse devra être soigneusement rédigée et justifiée.

Fin de l'épreuve ZetaSpace · zetaspace.ma