Devoir 2 · Mathématiques supérieures

Devoir 2

Quatre exercices consacrés à la convexité dans \(\mathbb C\), aux points fixes, à la bijection de Cantor et à une équation fonctionnelle sur \(\mathbb N^*\).

Niveau Maths Sup Durée 2 h Calculatrice interdite Rédaction exigée

Consigne générale

Toute réponse doit être soigneusement justifiée. Les notations introduites dans chaque exercice sont indépendantes.

Exercice 1

Étant donnés \(a,b\in\mathbb C\), on appelle segment d'extrémités \(a\) et \(b\) l'ensemble

\[ [a,b]=\left\{\lambda a+(1-\lambda)b\ \middle|\ \lambda\in[0,1]\right\}. \]

Soient \(a,b\in\mathbb C\). Montrer que \([a,b]=[b,a]\).
Une partie \(C\) de \(\mathbb C\) est dite convexe si et seulement si
\[ \forall a,b\in C,\ \forall\lambda\in[0,1],\qquad \lambda a+(1-\lambda)b\in C. \]
Exemples de parties convexes :
Soient \(a,b\in\mathbb C\). Montrer que \([a,b]\) est une partie convexe de \(\mathbb C\).
Soit \(D=\left\{z\in\mathbb C\ \middle|\ |z|\leq1\right\}\). Montrer que \(D\) est une partie convexe de \(\mathbb C\).
Deux propriétés :
Soit \((C_i)_{i\in I}\) une famille de parties convexes de \(\mathbb C\). Montrer que \[ C=\bigcap_{i\in I}C_i \] est une partie convexe de \(\mathbb C\).
Soit \(C\) une partie convexe de \(\mathbb C\). Montrer, en raisonnant par récurrence, que pour tout \(n\in\mathbb N^*\), pour tous \(a_1,\ldots,a_n\in C\) et pour tous \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n>0\), \[ \frac{\lambda_1a_1+\cdots+\lambda_na_n}{\lambda_1+\cdots+\lambda_n}\in C. \]
Soit \(A\) une partie de \(\mathbb C\) et \(\mathcal S\) l'ensemble des parties convexes de \(\mathbb C\) contenant \(A\). On pose \[ \operatorname{Conv}(A)=\bigcap_{C\in\mathcal S}C. \]
Justifier que \(\operatorname{Conv}(A)\) est une partie convexe de \(\mathbb C\) contenant \(A\).
Justifier que si \(C\) est une partie convexe de \(\mathbb C\) contenant \(A\), alors \[ \operatorname{Conv}(A)\subset C. \] Ainsi, \(\operatorname{Conv}(A)\) est le plus petit convexe de \(\mathbb C\) contenant \(A\). On l'appelle l'enveloppe convexe de \(A\).
Soient \(a,b\in\mathbb C\) et \(A=\{a,b\}\). Déterminer \(\operatorname{Conv}(A)\).
Soit \(U=\left\{z\in\mathbb C\ \middle|\ |z|=1\right\}\). Déterminer \(\operatorname{Conv}(U)\).

Exercice 2 Un théorème de point fixe

Soit \(E\) un ensemble et soit \(\Phi:\mathcal P(E)\longrightarrow\mathcal P(E)\) une application croissante pour l'inclusion, c'est-à-dire telle que

\[ \forall(A,B)\in\mathcal P(E)^2,\qquad A\subset B\implies\Phi(A)\subset\Phi(B). \]

L'objet de cet exercice est de démontrer que \(\Phi\) possède un point fixe : il existe \(X_0\in\mathcal P(E)\) tel que \(\Phi(X_0)=X_0\).

Posons

\[ \mathcal A=\left\{X\in\mathcal P(E)\ \middle|\ \Phi(X)\subset X\right\}. \]

Montrer que \(\mathcal A\neq\varnothing\).
Soit \(X\in\mathcal A\). Montrer que \(\Phi(X)\in\mathcal A\).
Posons \(X_0=\displaystyle\bigcap_{X\in\mathcal A}X\).
Montrer que \(X_0\in\mathcal A\).
Conclure.

Exercice 3 Bijection de Cantor

Pour \(s\in\mathbb N\), on note \(A_s=\dfrac{s(s+1)}2\).

On considère l'application

\[ \begin{array}{rcl} f:\mathbb N^2&\longrightarrow&\mathbb N\\[1mm] (x,y)&\longmapsto&\dfrac{(x+y)(x+y+1)}2+y. \end{array} \]

Pour \(s\in\mathbb N\), on note \(A_s=\dfrac{s(s+1)}2\).
Vérifier que \(A_s\) est un entier naturel.
Soit \((s,s')\in\mathbb N^2\) tel que \(s<s'\). Montrer que \(A_{s+1}\leq A_{s'}\).
Soit \((x,y)\in\mathbb N^2\) et posons \(s=x+y\). Montrer que \[ A_s\leq f(x,y)<A_{s+1}. \]
Soient \((x,y),(x',y')\in\mathbb N^2\). On pose \(s=x+y\) et \(s'=x'+y'\).
Montrer que si \(s>s'\), alors \(f(x,y)>f(x',y')\).
En déduire que \[ f(x,y)=f(x',y')\implies x+y=x'+y'. \]
Montrer que \(f\) est injective.
On poursuit l'étude de l'application \(f\).
Soit \((x,y)\in\mathbb N^2\) tel que \(x\geq1\). Calculer \(f(x-1,y+1)-f(x,y)\).
Soit \(y\in\mathbb N\). Exprimer \(f(y+1,0)\) en fonction de \(f(0,y)\).
En déduire que \(f\) est surjective.
Déterminer, en expliquant la démarche qui permet de le trouver, l'antécédent de \(2018\) par \(f\).

Exercice 4 Bonus

Soit \(f:\mathbb N^*\longrightarrow\mathbb N^*\) une fonction telle que

\[ \forall n\in\mathbb N^*,\qquad f(n+1)>f(f(n)). \]

Montrer que \[ \forall p\in\mathbb N^*,\quad\forall n\geq p,\quad f(n)\geq p. \]
En déduire toutes les fonctions \(f:\mathbb N^*\longrightarrow\mathbb N^*\) qui vérifient \[ \forall n\in\mathbb N^*,\qquad f(n+1)>f(f(n)). \]

Fin du devoir ZetaSpace · zetaspace.ma