Problème · Suites numériques

Moyenne de Césaro

Étude de la convergence de la suite des moyennes de Césaro selon les propriétés portées par la suite initiale : monotonie, convergence, périodicité.

Niveau Bac+1 Durée 2 h Calculatrice interdite Parties 3

Notations

On appelle suite des moyennes de Césaro associée à une suite réelle \((u_n)\) la suite \((\sigma_n)\) définie par :

\[ \forall n\in\mathbb{N},\qquad \sigma_n=\frac{u_0+u_1+\cdots+u_n}{n+1}. \]

L'objectif du problème est d'étudier la convergence de \((\sigma_n)\) en fonction de propriétés portées par \((u_n)\).

Partie I Cas d'une suite monotone et convergente

On suppose dans cette partie que \((u_n)\) est une suite croissante de limite \(\ell\in\mathbb{R}\).

On introduit sa suite des moyennes de Césaro \((\sigma_n)\) définie comme en introduction.

Montrer que la suite \((\sigma_n)\) est croissante.
Montrer que \(\forall n\in\mathbb{N},\ \sigma_n\le\ell\). Que peut-on en déduire ?
Établir \[ \forall n\in\mathbb{N},\qquad \sigma_{2n+1}\ \ge\ \tfrac12\,\sigma_n+\tfrac12\,u_{n+1}. \]
En déduire que \((\sigma_n)\) converge vers \(\ell\).
Que dire de la suite des moyennes de Césaro d'une suite décroissante de limite \(\ell\in\mathbb{R}\) ?

Partie II Cas d'une suite convergente

Soit \((u_n)\) une suite réelle convergeant vers \(\ell\in\mathbb{R}\). Soit \(\varepsilon>0\).

Justifier qu'il existe \(n_0\in\mathbb{N}\) tel que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(n>n_0\) entraîne : \(\left|u_n-\ell\right|\le \varepsilon/2\).
Établir que pour tout entier \(n>n_0\) on a : \[ \left|\sigma_n-\ell\right|\ \le\ \frac{\left|u_0-\ell\right|+\cdots+\left|u_{n_0}-\ell\right|}{n+1} \ +\ \frac{\left|u_{n_0+1}-\ell\right|+\cdots+\left|u_{n}-\ell\right|}{n+1}. \]
Montrer qu'il existe \(n_1>n_0\) tel que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(n>n_1\) entraîne : \[ \frac{\left|u_0-\ell\right|+\cdots+\left|u_{n_0}-\ell\right|}{n+1}\ \le\ \frac{\varepsilon}{2}. \]
Conclure que \((\sigma_n)\) converge vers \(\ell\).
On suppose ici que la suite \((\sigma_n)\) converge vers le réel \(\ell\). On se propose d'étudier une réciproque du résultat précédent.
Montrer que la suite \((u_n)\) n'est généralement pas convergente. On pourra exhiber un contre-exemple.
Montrer que la suite \((u_n)\) n'est pas nécessairement bornée. On pourra considérer la suite \((u_n)\) définie par \(u_n=\begin{cases} p & \text{si } n=p^3\\ 0 & \text{sinon}\end{cases}\)
On suppose en outre que la suite \((u_n)\) est monotone ; on pourra considérer, par exemple, qu'elle est croissante. Montrer alors par l'absurde que la suite \((u_n)\) est majorée par \(\ell\). Conclure.

Partie III Cas des suites périodiques

Soient \(T\in\mathbb{N}^{*}\) et \((u_n)\) une suite réelle \(T\)-périodique, c'est-à-dire telle que

\[ \forall n\in\mathbb{N},\qquad u_{n+T}=u_n. \]

On introduit sa suite des moyennes de Césaro \((\sigma_n)\) définie comme en introduction. On pose aussi

\[ s=\frac{1}{T}\bigl(u_0+u_1+\cdots+u_{T-1}\bigr). \]

Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[ s=\frac{u_n+u_{n+1}+\cdots+u_{n+T-1}}{T}. \]
On considère la suite \((v_n)\) de terme général : \[ v_n=(n+1)\,\sigma_n-(n+1)\,s. \]
Montrer que \((v_n)\) est \(T\)-périodique.
En déduire que \((v_n)\) est bornée.
Établir que \((\sigma_n)\) converge et préciser sa limite.

Remarque. Toute réponse devra être soigneusement rédigée : chaque objet utilisé doit être introduit, et les hypothèses invoquées clairement citées.

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