Module 2 · Continuité

Exercices d'approfondissement

Continuité, limites, théorème des valeurs intermédiaires, variations et fonctions réciproques.

Niveau 2 Bac SP Module 2 Exercices 4 Chapitre Continuité

Consigne générale

Toute réponse doit être soigneusement rédigée et justifiée. Les théorèmes utilisés doivent être clairement cités avec leurs hypothèses.

Exercice 1Fonction définie par morceaux

Soit \(f\) la fonction définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{1-\sqrt{x^3}+\sqrt{x}}{1-x}, & \text{si }x\in[0,1[\cup]1,+\infty[,\\[9pt] \displaystyle\frac{3x+1}{2x+1}, & \text{si }x<0. \end{cases} \]

Étudier la continuité de la fonction \(f\) au point \(0\).
Calculer les limites suivantes : \[\lim_{x\to1^+}f(x),\qquad \lim_{x\to1^-}f(x),\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x).\]
Montrer que, pour tout \(x\in[0,1[\cup]1,+\infty[\), \[f(x)=\sqrt{x}+\frac1{1-x}.\]
Étudier la continuité de la fonction \(f\) sur \(]1,+\infty[\).
Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in]1,+\infty[\).
En déduire la monotonie de \(f\) sur \(]1,+\infty[\).
Montrer que l'équation \[\frac1{x-1}=\sqrt{x}\] admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]1,2[\).
Montrer que \(\alpha^2(\alpha-2)=1-\alpha\).

Exercice 2Limites, calcul algébrique et raccordement

Calculer la limite : \[\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sin x}.\]
Calculer la limite : \[\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{\sqrt{x^3+x+1}-2x+1}.\]
Simplifier le nombre \[A=\frac{18^{\frac23}\,\sqrt[3]{\sqrt2}}{\sqrt[3]{6}\,\sqrt6}.\]
Montrer que l'équation \(x^3+x=1\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb R\).
Vérifier que \(0<\alpha<1\) et que \[\alpha^2+1=\frac1\alpha.\]
Donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0{,}25\).
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb R\) par \[ g(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac1x,&\text{si }x\ge\alpha,\\[6pt] x^2+1,&\text{si }x<\alpha. \end{cases} \] Montrer que \(g\) est continue au point \(x_0=\alpha\).

Exercice 3Fonction réciproque

Soit \(f\) la fonction définie sur \([2,+\infty[\) par :

\[f(x)=\sqrt{x-2}+x+1.\]

Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\), définie sur un intervalle \(J\) que l'on déterminera.
Déterminer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\in J\).

Exercice 4Étude de fonctions

Partie I. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[g(x)=4x^3-3x-8.\]

Dresser le tableau de variations de \(g\) sur \(\mathbb R\).
Montrer que l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\left[\dfrac12,+\infty\right[\).
Montrer que \(\alpha\in]1,2[\).
En déduire le signe de \(g(x)\) sur \(\left[\dfrac12,+\infty\right[\).

Partie II. Soit \(f\) la fonction définie sur \(I=\left]\dfrac12,+\infty\right[\) par :

\[f(x)=\frac{x^3+1}{4x^2-1}.\]

Calculer \[\lim_{x\to\frac12^+}f(x)\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to+\infty}f(x).\]
Montrer que, pour tout \(x\in I\), \[f'(x)=\frac{x\,g(x)}{(4x^2-1)^2}.\]
Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(I\).
Montrer que \[f(\alpha)=\frac{3\alpha}{8}.\]
Déterminer les points d'intersection de la courbe \((C)\), représentative de \(f\), avec les axes du repère.

Remarque. Les quatre exercices sont indépendants.

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