Module 1 · DS 1

Devoir surveillé : Continuité

Trois exercices sur la continuité, le théorème des valeurs intermédiaires, l'étude des fonctions et la fonction réciproque.

Niveau 2 Bac SP Durée 2 h Calculatrice autorisée Exercices 3

Consignes

La calculatrice est autorisée. Toute réponse doit être soigneusement justifiée.

La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements seront prises en compte.

Exercice 1 Continuité et équation

Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[ h(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{\sqrt[3]{x^2-2}-\sqrt[3]{2}}{x-2}, & \text{si }x\ne2,\\[8pt] \displaystyle\frac{\sqrt[3]{2}}{3}, & \text{si }x=2. \end{cases} \]

Montrer que la fonction \(h\) est continue en \(2\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(t^2-5t+6=0\).
En déduire les solutions de l'équation : \[\sqrt[3]{x^2+2x+1}-5\sqrt[3]{x+1}+6=0.\]

Exercice 2 Étude d'une fonction rationnelle

I. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g(x)=-2x^3-3x^2-1.\]

Calculer \(g'(x)\).
Dresser le tableau de variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([-2;-1]\).
En déduire le signe de \(g(x)\) sur \(\mathbb{R}\).

II. Soit \(f\) la fonction définie par :

\[f(x)=\frac{x+1}{x^3-1}.\]

Déterminer l'ensemble de définition \(D_f\) de \(f\).
Montrer que, pour tout \(x\ne1\), \[f'(x)=\frac{g(x)}{(x^3-1)^2}.\]
Dresser le tableau de variations de \(f\).
Montrer que : \[f(\alpha)=-\frac{2}{3}\left(\frac{\alpha+1}{\alpha^2+1}\right).\]

Exercice 3 Bijection et fonction réciproque

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x)=\frac{x^2-2}{x^2+1}.\]

Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\).
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \[f'(x)=\frac{6x}{(x^2+1)^2}.\]
Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que la restriction de \(f\) à \([0;+\infty[\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\), définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
Déterminer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\in J\).
Déterminer les points d'intersection de la courbe \((C)\), représentative de \(f\), avec l'axe des abscisses.

Remarque. Toute réponse devra être soigneusement rédigée et justifiée.

Fin de l'épreuve ZetaSpace · zetaspace.ma