Convergence d'une suite

Propriétés à connaître

Suites usuelles — \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)\), \(\left(\dfrac{1}{n}\right)\), \(\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right)\) tendent vers \(0\).

Unicité — quand elle existe, la limite d'une suite est unique.

Convergente ⟹ bornée — toute suite convergente est bornée ; la réciproque est fausse (\((-1)^n\) est bornée mais ne converge pas).

Opérations sur les limites, et ordre

Propriété

Si \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent, alors \((u_n+v_n)\), \((u_nv_n)\) convergent, et si \(\lim v_n\neq 0\), \(\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)\) aussi :

\[ \lim(u_n+v_n)=\lim u_n+\lim v_n\ ;\quad \lim(u_nv_n)=\lim u_n\times\lim v_n\ ;\quad \lim\frac{u_n}{v_n}=\frac{\lim u_n}{\lim v_n} \]

Limite d'une somme
lim u_n	ℓ	ℓ	ℓ	+∞	−∞	+∞
lim v_n	ℓ'	+∞	−∞	+∞	−∞	−∞
lim(u_n+v_n)	ℓ+ℓ'	+∞	−∞	+∞	−∞	forme indéterminée

Limite d'un produit
lim u_n	ℓ	+∞	+∞	−∞	0
lim v_n	ℓ'	ℓ'>0	ℓ'<0	ℓ'>0	±∞
lim(u_n×v_n)	ℓℓ'	+∞	−∞	−∞	forme indéterminée

Limite d'une inverse
lim u_n	ℓ ≠ 0	+∞ ou −∞	0
lim 1/u_n	1/ℓ	0	lim 1/\|u_n\| = +∞

Attention

Trois formes indéterminées à repérer tout de suite : \(+\infty-\infty\), \(0\times(\pm\infty)\), \(\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}\) (et \(\dfrac{0}{0}\)). On les lève par factorisation, quantité conjuguée, ou mise en facteur du terme dominant.

Propriété — limites et ordre

Si \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent : \((u_n)\) positive \(\Rightarrow\lim u_n\geq 0\) ; et \(u_n\leq v_n\) (à partir d'un rang) \(\Rightarrow\lim u_n\leq\lim v_n\).

Une inégalité stricte entre suites ne donne, au passage à la limite, qu'une inégalité large.

Monotonie et convergence

Théorème 1 · convergence monotone

Toute suite croissante et majorée est convergente.

Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Il assure l'existence de la limite — pas sa valeur : on la retrouve ensuite en général par un point fixe.

Propriété

Toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).

Toute suite décroissante non minorée tend vers \(-\infty\).

Critères de convergence

Théorème des gendarmes

Si \((v_n)\) et \((w_n)\) convergent vers une même limite \(\ell\), et si \(v_n\leq u_n\leq w_n\) à partir d'un certain rang, alors \((u_n)\) converge et \(\lim u_n=\ell\).

Corollaire

S'il existe \((v_n)\) tendant vers \(0\) telle que \(|u_n-\ell|\leq v_n\) à partir d'un rang, alors \((u_n)\) converge vers \(\ell\).

Propriété

Pour \(r\in\mathbb{Q}^{*}\) : si \(r>0\), \(\lim n^{r}=+\infty\) ; si \(r<0\), \(\lim n^{r}=0\).

aq > 1

\(\lim q^{n}=+\infty\)

b−1 < q < 1

\(\lim q^{n}=0\)

cq = 1

\(\lim q^{n}=1\)

dq ≤ −1

Pas de limite

Exemples

Exemple 1

\(u_n=3-\dfrac{1}{n}+\dfrac{4}{\sqrt{n}}\).

Comme \(\lim\dfrac{1}{n}=0\) et \(\lim\dfrac{4}{\sqrt{n}}=0\), la propriété de la somme donne :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=3-0+0=3 \]

Applications

Application 1 · théorème des gendarmes

Énoncé

Soit \((u_n)_{n\geq 1}\) définie par \(u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n}{\sqrt{n^{4}+k}}\).

Montrer que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.

Limites de suites numériques

Convergence d'une suite

Opérations sur les limites, et ordre

Monotonie et convergence

Critères de convergence

aq > 1

b−1 < q < 1

cq = 1

dq ≤ −1

Exemples

Applications

Partie 2